Однородная верёвка подвешена за два конца на разных высотах (см. рисунок). Углы, которые составляет верёвка с вертикалью в точках закрепления, равны α = 30° и β = 45°. Найти отношение длины части верёвки, расположенной левее самой низшей точки верёвки, к длине части верёвки правее этой точки.

Для однородной тяжелой нити (верёвки), свободно висящей под действием силы тяжести, форма кривой описывается уравнением цепной линии. Важным свойством такой нити является то, что горизонтальная составляющая натяжения $T_h$ одинакова в любой точке нити. Рассмотрим равновесие любой части нити от самой нижней точки (где касательная горизонтальна) до произвольной точки. В любой точке с углом наклона касательной $\theta$ к вертикали выполняются соотношения: $T \sin \theta = T_h$ $T \cos \theta = T_h \cdot \tan \theta = \lambda g s$ где $\lambda$ — линейная плотность, $g$ — ускорение свободного падения, $s$ — длина дуги от нижней точки. Из этих формул следует, что длина части нити $s$ от нижней точки до точки с углом наклона касательной $\theta$ к вертикали равна: $s = C \cdot \tan \theta$, где $C = T_h / (\lambda g)$ — константа для данной нити. Пусть $s_1$ — длина левой части (угол $\alpha = 30^\circ$), а $s_2$ — длина правой части (угол $\beta = 45^\circ$): $s_1 = C \cdot \tan \alpha$ $s_2 = C \cdot \tan \beta$ Нам нужно найти отношение $s_1 / s_2$: $\frac{s_1}{s_2} = \frac{\tan \alpha}{\tan \beta} = \frac{\tan 30^\circ}{\tan 45^\circ} = \frac{1 / \sqrt{3}}{1} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0,577$. **Ответ:** $\frac{1}{\sqrt{3}}$ или $\frac{\sqrt{3}}{3}$.