Вершина параллелограмма и середины двух его противоположных сторон образуют равносторонний треугольник. Найдите углы параллелограмма на рисунке.

Допущение: рассматривается параллелограмм $ABCD$, где $M$ — середина стороны $BC$, $N$ — середина стороны $CD$, а треугольник $AMN$ — равносторонний. 1. Пусть стороны параллелограмма $AB = CD = a$ и $BC = AD = b$. Тогда $MC = \frac{b}{2}$ и $NC = \frac{a}{2}$. 2. Так как $\triangle AMN$ равносторонний, то $AM = AN = MN$. По теореме косинусов для $\triangle MNC$: $MN^2 = MC^2 + NC^2 - 2 \cdot MC \cdot NC \cdot \cos C = \frac{b^2}{4} + \frac{a^2}{4} - \frac{ab}{2} \cos C$. 3. Рассмотрим $\triangle ABM$ и $\triangle ADN$. Из равенства $AM = AN$ и свойств параллелограмма ($∠B = ∠D = 180^∘ - ∠C$) следует, что эти треугольники равны, значит $AB = AD$, то есть $a = b$. Параллелограмм является ромбом. 4. Тогда в $\triangle MNC$: $MN^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} - 2 \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} \cos C = \frac{a^2}{2}(1 - \cos C)$. 5. В $\triangle ABM$ ($AB = a, BM = \frac{a}{2}, ∠B = 180^∘ - C$): $AM^2 = a^2 + \frac{a^2}{4} - 2 \cdot a \cdot \frac{a}{2} \cos(180^∘ - C) = \frac{5a^2}{4} + a^2 \cos C$. 6. Приравняем $MN^2 = AM^2$: $\frac{a^2}{2} - \frac{a^2}{2} \cos C = \frac{5a^2}{4} + a^2 \cos C$ $- \frac{3}{2} \cos C = \frac{3}{4} \Rightarrow \cos C = -\frac{1}{2}$. 7. Следовательно, $∠C = 120^∘$. Тогда соседний угол $∠D = 180^∘ - 120^∘ = 60^∘$. **Ответ: 60°, 120°, 60°, 120°.**