1. В выпуклом четырехугольнике ABCD углы A и B — прямые, BC = 6, AD = 8, AB = 2√3.

Для решения задачи построим четырехугольник ABCD на координатной плоскости. Так как углы A и B — прямые, примем A за начало координат (0,0). Тогда AB лежит на оси Oy, а AD — на оси Ox. Пусть A = (0, 0). Так как AB = $2\sqrt{3}$, то B = (0, $2\sqrt{3}$). Так как AD = 8, то D = (8, 0). Угол B — прямой, значит сторона BC перпендикулярна AB. BC лежит на прямой, параллельной оси Ox. BC = 6, значит C = (6, $2\sqrt{3}$). а) Площадь трапеции ABCD: $S = \frac{BC + AD}{2} \cdot AB = \frac{6 + 8}{2} \cdot 2\sqrt{3} = 7 \cdot 2\sqrt{3} = 14\sqrt{3}$. б) Найдем углы: Угол B = 90°, угол A = 90°. Найдем CD. Вектор $\vec{CD} = (8-6; 0 - 2\sqrt{3}) = (2; -2\sqrt{3})$. Длина $CD = \sqrt{2^2 + (-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = 4$. Найдем сторону AD = 8. Вектор $\vec{DA} = (-8; 0)$. Используем теорему косинусов в $\triangle ACD$. $AC^2 = AB^2 + BC^2 = (2\sqrt{3})^2 + 6^2 = 12 + 36 = 48$. $AC = 4\sqrt{3}$. В $\triangle ACD$ стороны: $AD=8$, $CD=4$, $AC=4\sqrt{3}$. Заметим, что $CD^2 + AC^2 = 16 + 48 = 64 = AD^2$. Значит, по обратной теореме Пифагора $\triangle ACD$ — прямоугольный, угол C = 90°. Угол D: $\sin D = \frac{AC}{AD} = \frac{4\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, значит $\angle D = 60°$. Тогда угол C = 360° - (90° + 90° + 60°) = 120° (весь угол C четырехугольника = $\angle BCA + \angle ACD = 90° + 90° = 180°$). в) Отрезок, соединяющий середины сторон AB и CD — это средняя линия трапеции. Ее длина: $\frac{BC + AD}{2} = \frac{6 + 8}{2} = 7$. г) В четырехугольник можно вписать окружность, если суммы его противоположных сторон равны: $AB + CD = BC + AD$. $2\sqrt{3} + 4 \neq 6 + 8$. Нельзя. д) Около четырехугольника можно описать окружность, если сумма противоположных углов равна 180°. $\angle A + \angle C = 90° + 180° = 270° \neq 180°$. Нельзя. е) $\triangle ABC$ прямоугольный (катеты $2\sqrt{3}$ и 6), $\triangle ACD$ прямоугольный (катеты $4\sqrt{3}$ и 4). Отношение катетов: $6 / 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$, а $4\sqrt{3} / 4 = \sqrt{3}$. Треугольники подобны по двум катетам. ж) Векторы: $\vec{CA} = (-6; -2\sqrt{3})$, $\vec{CB} = (-6; 0)$, $\vec{CD} = (2; -2\sqrt{3})$. $\vec{CA} = m\vec{CB} + n\vec{CD}$ $(-6; -2\sqrt{3}) = m(-6; 0) + n(2; -2\sqrt{3})$ 1) $-6 = -6m + 2n 2) -2\sqrt{3} = -2\sqrt{3}n \Rightarrow n = 1$ Подставим n=1 в 1): $-6 = -6m + 2 \Rightarrow -6m = -8 \Rightarrow m = 4/3$. Ответ: $\vec{CA} = \frac{4}{3}\vec{CB} + \vec{CD}$.