Две пересекающиеся прямые разбивают плоскость на четыре части. В двух из них, отмеченных на рисунке 5.13, взяли произвольные точки A и B. Всегда ли отрезок AB будет пересекать обе прямые?

**5.2** Нет, не всегда. Отрезок $AB$ будет обязательно пересекать обе прямые только в том случае, если точки $A$ и $B$ лежат в «противоположных» частях (вертикальных углах), как показано на рисунке 5.13. **Объяснение:** Плоскость разделена двумя прямыми. Чтобы попасть из одной части в другую, нужно пересечь границу — одну из прямых. Если точки лежат в смежных частях, отрезок пересечёт только одну общую прямую-границу. Если же точки лежат в противоположных частях (не имеющих общих границ-лучей, кроме точки пересечения), то любой путь между ними (включая кратчайший — отрезок) должен пересечь обе прямые. **5.3** **Ответ: 30** **Решение:** 1. Пусть прямая делит 11 точек на две группы: в одной группе $n$ точек, в другой $11 - n$ точек. 2. Прямая пересекает только те отрезки, концы которых лежат по разные стороны от неё. Количество таких отрезков равно произведению количества точек в этих группах: $n \cdot (11 - n)$. 3. Нам нужно найти наибольшее значение этого произведения. Переберём варианты: - Если $n = 1$, то $1 \cdot 10 = 10$; - Если $n = 2$, то $2 \cdot 9 = 18$; - Если $n = 3$, то $3 \cdot 8 = 24$; - Если $n = 4$, то $4 \cdot 7 = 28$; - Если $n = 5$, то $5 \cdot 6 = 30$; - Если $n = 6$, то $6 \cdot 5 = 30$. Наибольшее число пересекаемых отрезков равно 30.