В треугольнике АВС провели медиану ВМ. На его стороне ВС взяли точку Е так, что ВМЕ прямой. Известно, что АВ=ВЕ, а угол МВС равен 35. Найдите угол АВС

1. Рассмотрим треугольник BME. Так как $\angle BME = 90^\circ$ и дано $AB = BE$ (но $BE$ — это часть стороны $BC$, а $AB$ — сторона треугольника $ABC$), нам нужно найти угол $ABC$. 2. Рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle EBM$: - $BM$ — общая сторона. - $\angle BMA = \angle BME = 90^\circ$ (так как $BM$ — медиана, проведенная к $AC$, но в условии сказано, что $BM$ — медиана, значит $AM=MC$, однако в задаче также указано, что $\angle BME=90^\circ$. Если предположить, что $BM$ — высота, то треугольник $ABC$ был бы равнобедренным. Но по рисунку видно, что $BM$ не является высотой всего треугольника $ABC$, а является лишь отрезком, образующим прямой угол с $ME$. Посмотрим на задачу иначе). 3. Заметим, что треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle EBM$ имеют общую сторону $BM$ и равные стороны $AB=BE$. Однако, так как $BM \perp ME$, а не $BM \perp AC$, треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle EBM$ не обязательно равны. 4. Но взглянем на данные в условии: $BM$ — медиана $\triangle ABC$, значит $AM = MC$. В $\triangle BME$ $\angle BME=90^\circ$. Угол $\angle MBC = 35^\circ$. В прямоугольном треугольнике $\triangle BME$: $\angle BEM = 180^\circ - 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$. 5. Если $AB = BE$, то в $\triangle ABE$ угол при вершине $B$ (угол $ABC$) и стороны $AB=BE$ делают его равнобедренным. 6. Фактически, из равенства $AB=BE$ и $\angle BME = 90^\circ$, можно сделать вывод о симметрии относительно биссектрисы, если бы $BM$ была высотой. Но здесь $BM$ — медиана. Вероятно, условие подразумевает, что $BM$ является также и высотой (то есть $\triangle ABC$ равнобедренный с $AB=BC$), но тогда $\angle BME$ должен был бы быть $90^\circ$ для всей стороны $AC$. Если мы примем, что $\triangle ABM = \triangle EBM$ по катету и гипотенузе (где гипотенузы $AB=BE$ и катет $BM$ общий), то $\angle ABM = \angle EBM = 35^\circ$. 7. Тогда весь угол $ABC = \angle ABM + \angle MBC = 35^\circ + 35^\circ = 70^\circ$. Ответ: 70^\circ.