1.Найдите наибольший общий делитель чисел: а) 12 и 32; б) 14 и 42; в) 360 и 336; г) 32, 96 и 112.

1. Наибольший общий делитель (НОД): а) НОД(12, 32): 12 = 2² · 3, 32 = 2⁵. НОД = 2² = 4. б) НОД(14, 42): 14 = 2 · 7, 42 = 2 · 3 · 7. НОД = 2 · 7 = 14. в) НОД(360, 336): 360 = 2³ · 3² · 5, 336 = 2⁴ · 3 · 7. НОД = 2³ · 3 = 24. г) НОД(32, 96, 112): 32 = 2⁵, 96 = 2⁵ · 3, 112 = 2⁴ · 7. НОД = 2⁴ = 16. 2. Пары взаимно простых чисел из набора 14, 18, 55, 35: Взаимно простые числа имеют НОД, равный 1. - 14 (2 · 7) и 55 (5 · 11) — взаимно простые. - 14 (2 · 7) и 35 (5 · 7) — нет (НОД=7). - 18 (2 · 3²) и 55 (5 · 11) — взаимно простые. - 18 (2 · 3²) и 35 (5 · 7) — взаимно простые. - 55 (5 · 11) и 35 (5 · 7) — нет (НОД=5). - 14 (2 · 7) и 18 (2 · 3²) — нет (НОД=2). Ответ: (14, 55), (18, 55), (18, 35). 3. Доказательство: 715 = 5 · 11 · 13 567 = 3⁴ · 7 Общих делителей, кроме 1, нет, значит числа взаимно простые. 4. Задача: Нужно найти число, на которое делятся 108 и 72 без остатка, и которое больше 30. Делители 108: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 108. Делители 72: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72. Общие делители: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Число больше 30 — это 36. Ответ: 36 номеров.