18. 5 y = x^3 / (2x - 3)

Для нахождения точек экстремума функции $y = \frac{x^3}{2x - 3}$ нужно найти её производную и приравнять к нулю. 1. Найдем производную функции, используя формулу производной частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $y' = \frac{(x^3)'(2x - 3) - x^3(2x - 3)'}{(2x - 3)^2} = \frac{3x^2(2x - 3) - x^3 \cdot 2}{(2x - 3)^2}$ 2. Упростим выражение: $y' = \frac{6x^3 - 9x^2 - 2x^3}{(2x - 3)^2} = \frac{4x^3 - 9x^2}{(2x - 3)^2}$ 3. Приравняем производную к нулю: $\frac{4x^3 - 9x^2}{(2x - 3)^2} = 0$ $4x^3 - 9x^2 = 0$ $x^2(4x - 9) = 0$ Отсюда получаем критические точки: $x^2 = 0 \Rightarrow x_1 = 0$ $4x - 9 = 0 \Rightarrow 4x = 9 \Rightarrow x_2 = 2,25$ 4. Исследуем знаки производной методом интервалов с учетом точки разрыва $x = 1,5$ (где знаменатель равен 0): - На интервале $(-\infty; 0)$: $y' < 0$ (функция убывает). - На интервале $(0; 1,5)$: $y' < 0$ (функция убывает). - На интервале $(1,5; 2,25)$: $y' < 0$ (функция убывает). - На интервале $(2,25; +\infty)$: $y' > 0$ (функция возрастает). Так как в точке $x = 0$ знак производной не меняется (минус остается минусом), экстремума нет. В точке $x = 2,25$ производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка минимума. Ответ: Точка минимума $x = 2,25$.