1. Даны точки M (-2; -4), P (4; 4), K (-1; 3). Найдите:

Решение контрольной работы №4 (Вариант 2): **1. Даны точки M(-2; -4), P(4; 4), K(-1; 3).** 1) Координаты векторов: $\vec{MK} = K - M = (-1 - (-2); 3 - (-4)) = (1; 7)$ $\vec{PM} = M - P = (-2 - 4; -4 - 4) = (-6; -8)$ 2) Модули векторов: $|\vec{MK}| = \sqrt{1^2 + 7^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ $|\vec{PM}| = \sqrt{(-6)^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ 3) Координаты вектора $\vec{EF} = 2\vec{MK} - 3\vec{PM}$: $2\vec{MK} = 2(1; 7) = (2; 14)$ $3\vec{PM} = 3(-6; -8) = (-18; -24)$ $\vec{EF} = (2 - (-18); 14 - (-24)) = (20; 38)$ 4) Скалярное произведение $\vec{MK} \cdot \vec{PM}$: $\vec{MK} \cdot \vec{PM} = 1 \cdot (-6) + 7 \cdot (-8) = -6 - 56 = -62$ 5) Косинус угла $\alpha$ между $\vec{MK}$ и $\vec{PM}$: $\cos \alpha = \frac{\vec{MK} \cdot \vec{PM}}{|\vec{MK}| \cdot |\vec{PM}|} = \frac{-62}{5\sqrt{2} \cdot 10} = \frac{-62}{50\sqrt{2}} = -\frac{31}{25\sqrt{2}} = -\frac{31\sqrt{2}}{50} \approx -0.877$ **2. Начертите треугольник ABC. Постройте вектор:** 1) $\vec{BA} + \vec{AC} = \vec{BC}$ (по правилу треугольника) 2) $\vec{CA} - \vec{CB} = \vec{BA}$ (по правилу вычитания векторов) 3) $\vec{BC} + \vec{BA}$ (сумма векторов, выходящих из одной точки B, равна вектору диагонали параллелограмма, построенного на BC и BA) **3. Даны векторы $\vec{m}(p; 4)$ и $\vec{n}(20; -10)$.** 1) Коллинеарность: $\frac{p}{20} = \frac{4}{-10} \Rightarrow \frac{p}{20} = -0.4 \Rightarrow p = -8$ 2) Перпендикулярность: $\vec{m} \cdot \vec{n} = 0 \Rightarrow p \cdot 20 + 4 \cdot (-10) = 0 \Rightarrow 20p - 40 = 0 \Rightarrow p = 2$ **4. На сторонах CD и AD параллелограмма ABCD отметим точки M и K так, что CM : MD = 2 : 5, AK : KD = 1 : 2. Выразите вектор $\vec{MK}$ через $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$.** Пусть $\vec{AB} = \vec{a}$, $\vec{AD} = \vec{b}$. Тогда $\vec{CD} = \vec{AB} = \vec{a}$. $\vec{MK} = \vec{MD} + \vec{DK}$ $\vec{MD} = \frac{5}{7}\vec{CD} = \frac{5}{7}\vec{a}$ $\vec{DK} = \frac{2}{3}\vec{DA} = -\frac{2}{3}\vec{b}$ $\vec{MK} = \frac{5}{7}\vec{a} - \frac{2}{3}\vec{b}$ **5. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a} = 3\vec{k} - \vec{p}$ и $\vec{b} = \vec{k} - 3\vec{p}$, если $\vec{k} \perp \vec{p}$, $|\vec{k}| = |\vec{p}| = 1$.** $\vec{a} \cdot \vec{b} = (3\vec{k} - \vec{p}) \cdot (\vec{k} - 3\vec{p}) = 3\vec{k}^2 - 9\vec{k}\vec{p} - \vec{p}\vec{k} + 3\vec{p}^2$ Так как $\vec{k} \perp \vec{p}$, то $\vec{k}\vec{p} = 0$. $\vec{k}^2 = 1, \vec{p}^2 = 1$. $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3(1) - 0 + 3(1) = 6$ $|\vec{a}|^2 = (3\vec{k} - \vec{p})^2 = 9\vec{k}^2 - 6\vec{k}\vec{p} + \vec{p}^2 = 9(1) + 1 = 10 \Rightarrow |\vec{a}| = \sqrt{10}$ $|\vec{b}|^2 = (\vec{k} - 3\vec{p})^2 = \vec{k}^2 - 6\vec{k}\vec{p} + 9\vec{p}^2 = 1 + 9(1) = 10 \Rightarrow |\vec{b}| = \sqrt{10}$ $\cos \phi = \frac{6}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{6}{10} = 0.6$