К телу приложены две горизонтальные силы 3 Н и $\sqrt{5}$ Н, тангенс угла между которыми равен $\text{tg}\alpha = 2$ (рис. 11). Определить модуль равнодействующей этих сил. Под каким углом $\beta$ к силе $\vec{F_1}$ будет направлена равнодействующая?

Для решения воспользуемся теоремой косинусов для нахождения модуля равнодействующей силы $F$: $F = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2 \cos \alpha}$ 1. Найдем $\cos \alpha$. Так как $\text{tg} \alpha = 2$, то $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = 2$, откуда $\sin \alpha = 2 \cos \alpha$. Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$: $(2 \cos \alpha)^2 + \cos^2 \alpha = 1$ $4 \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ $5 \cos^2 \alpha = 1 \Rightarrow \cos^2 \alpha = \frac{1}{5} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$ 2. Вычислим модуль равнодействующей $F$: $F_1 = 3 \text{ Н}, F_2 = \sqrt{5} \text{ Н}$ $F = \sqrt{3^2 + (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}}$ $F = \sqrt{9 + 5 + 6} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \text{ Н} \approx 4,47 \text{ Н}$ 3. Найдем угол $\beta$ между равнодействующей $\vec{F}$ и силой $\vec{F_1}$ с помощью теоремы синусов в треугольнике сил: $\frac{F_2}{\sin \beta} = \frac{F}{\sin \alpha}$ $\sin \beta = \frac{F_2 \sin \alpha}{F} = \frac{\sqrt{5} \cdot (2 \cos \alpha)}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5} \cdot 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}}{2\sqrt{5}} = \frac{2}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ $\sin \beta = \frac{1}{\sqrt{5}}$. Так как $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$, то $\sin \beta = \cos \alpha$. Это означает, что $\beta = 90^\circ - \alpha$. Или просто $\beta = \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) \approx 26,57^\circ$. Ответ: модуль равнодействующей $2\sqrt{5} \text{ Н} \approx 4,47 \text{ Н}$, угол $\beta = \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) \approx 26,6^\circ$.