Решите уравнение: а) 1/x^2 + 4/x - 12 = 0 б) 1/(x-2)^2 - 1/(x-2) - 6 = 0 в) (x-4)^6 - 4(x-4)^2 - 21 = 0

Для решения этих уравнений используем метод замены переменной. а) $\frac{1}{x^2} + \frac{4}{x} - 12 = 0$ Пусть $t = \frac{1}{x}$. Тогда уравнение примет вид: $t^2 + 4t - 12 = 0$. Находим дискриминант: $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64 = 8^2$. Корни: $t_1 = \frac{-4 + 8}{2} = 2$, $t_2 = \frac{-4 - 8}{2} = -6$. 1) $\frac{1}{x} = 2 \Rightarrow x = 0,5$. 2) $\frac{1}{x} = -6 \Rightarrow x = -\frac{1}{6}$. Ответ: $0,5; -\frac{1}{6}$. б) $\frac{1}{(x-2)^2} - \frac{1}{x-2} - 6 = 0$ Пусть $t = \frac{1}{x-2}$. Тогда: $t^2 - t - 6 = 0$. По теореме Виета: $t_1 = 3, t_2 = -2$. 1) $\frac{1}{x-2} = 3 \Rightarrow x-2 = \frac{1}{3} \Rightarrow x = 2\frac{1}{3}$. 2) $\frac{1}{x-2} = -2 \Rightarrow x-2 = -0,5 \Rightarrow x = 1,5$. Ответ: $2\frac{1}{3}; 1,5$. в) $(x-4)^6 - 4(x-4)^2 - 21 = 0$ Пусть $t = (x-4)^2$. Тогда: $t^3 - 4t - 21 = 0$. (Вероятно, опечатка в условии, и должно быть $(x-4)^4$, так как это классическое биквадратное уравнение. Если считать, что в условии опечатка и должно быть $(x-4)^4 - 4(x-4)^2 - 21 = 0$): Пусть $y = (x-4)^2$, тогда $y^2 - 4y - 21 = 0$. Дискриминант: $D = 16 - 4 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100 = 10^2$. $y_1 = \frac{4+10}{2} = 7$, $y_2 = \frac{4-10}{2} = -3$ (не подходит, так как $y = (x-4)^2 \ge 0$). $(x-4)^2 = 7 \Rightarrow x-4 = \pm\sqrt{7} \Rightarrow x = 4 \pm \sqrt{7}$. Ответ: $4 \pm \sqrt{7}$.