1. На рисунке изображены четыре точки: C, K, B и M. Найдите скалярное произведение векторов CK и BM.

Допущение: задачи на координатной плоскости решаются с учетом того, что одна клетка равна единице. Координаты векторов определяем по концам: вектор (x2-x1; y2-y1). 1. C(2; 4), K(-2; 3), B(-3; 4), M(3; -3). Вектор CK = (-2-2; 3-4) = (-4; -1). Вектор BM = (3-(-3); -3-4) = (6; -7). Скалярное произведение: (-4)*6 + (-1)*(-7) = -24 + 7 = -17. 2. E(-3; 3), P(-1; 0). Вектор EP = (2; -3). 6EP = (12; -18). Z(1; 1), H(0; 3). Вектор ZH = (-1; 2). 5ZH = (-5; 10). Вектор 6EP - 5ZH = (12-(-5); -18-10) = (17; -28). Длина: $\sqrt{17^2 + (-28)^2} = \sqrt{289 + 784} = \sqrt{1073}$. 3. Вектор 1: от (0; 0) до (-2; 1) -> (-2; 1). Вектор 2: от (0; 0) до (2; -3) -> (2; -3). Скалярное произведение: (-2)*2 + 1*(-3) = -4 - 3 = -7. 4. Вектор идет от (0; 0) до (-2; -3) -> (-2; -3). Сумма координат: -2 + (-3) = -5. 5. E(-5; 5), T=(x; y). Вектор ET = (x - (-5); y - 5) = (x+5; y-5). По рисунку: x+5 = 4 (от -5 до -1), y-5 = -7 (от 5 до -2). Координаты вектора (4; -7). Ордината T: y-5 = -7 => y = -2. 6. D(x; y), K(-5; -3). Вектор DK = (-5-x; -3-y). По рисунку (точка D(2; 3) - визуально): вектор идет от D(2; 3) к K(-5; -3), разница координат (-7; -6). Абсцисса D: -5-x = -7 => x = 2. 7. O(0; 0), F(2; -1), Z(-2; -2), D(1; 2). Вектор OF = (2; -1). Вектор ZD = (1-(-2); 2-(-2)) = (3; 4). Сумма OF + ZD = (2+3; -1+4) = (5; 3). Сумма координат: 5 + 3 = 8. 8. F(-1; 2), N(2; -2), R(-1; -1), Z(1; 1). Вектор FN = (2-(-1); -2-2) = (3; -4). Вектор RZ = (1-(-1); 1-(-1)) = (2; 2). Вектор FN - RZ = (3-2; -4-2) = (1; -6). Сумма координат: 1 + (-6) = -5. 9. Вектор от (0;0) до (3; 2) -> (3; 2). Квадрат длины = $3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13$. 10. O(0; 0), C(-1; 3), K(-2; -2). Вектор OC = (-1; 3), Вектор OK = (-2; -2). Вектор OC + OK = (-3; 1). Квадрат длины = $(-3)^2 + 1^2 = 9 + 1 = 10$. 11. Вектор OP = (2; 2). Вектор OT = (2; -2). Скалярное произведение: 2*2 + 2*(-2) = 4 - 4 = 0. 12. T(-1; -1), E(-1; -1) (здесь, вероятно, E(-1; -1), T(2; 0) - график неясен, допустим E(-1;-1), T(2;0), O(0;0), F(1;2)). Вектор TE = (-1-(-1); -1-(-1)) - нет. Считаем по точкам: E(-1; -1), T(2; 0), F(1; 2), O(0; 0). Вектор TE = (3; 1). Вектор OF = (1; 2). TE + OF = (4; 3). Квадрат длины = $4^2 + 3^2 = 25$. 13. N(-1; 1), K(0; 0), X(1; -1), T(-2; -1). Вектор NK = (1; -1). Вектор XT = (-3; 0). NK - XT = (4; -1). Квадрат длины = $4^2 + (-1)^2 = 17$. 14. Вектор 1 (от (0;0) до (-2; 1)) = (-2; 1). Вектор 2 (от (0;0) до (-1; -1)) = (-1; -1). Вектор 3 (от (0;0) до (2; -1)) = (2; -1). Сумма = (-2-1+2; 1-1-1) = (-1; -1). Длина = $\sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$. 15. Скалярное произведение a*b = 9*7 + 3*8 = 63 + 24 = 87. 16. S(5; 4), T(19; x). Вектор ST = (14; x-4). Длина: $\sqrt{14^2 + (x-4)^2} = 50$. $196 + (x-4)^2 = 2500$. $(x-4)^2 = 2304$. $x-4 = 48$ (так как нужно наибольшее) => x = 52. 17. Скалярное произведение = |a| * |b| * cos(150°) = 8\sqrt{3} * 3 * (-sqrt{3}/2) = 24\sqrt{3} * (-sqrt{3}/2) = -12 * 3 = -36. 18. Длина вектора a(36; 48) = $\sqrt{36^2 + 48^2} = \sqrt{1296 + 2304} = \sqrt{3600} = 60$. 19. SAOP - прямоугольник. E - точка пересечения диагоналей. Вектор SE - AE. Т.к. E - центр, $SE = ES$. $SE - AE = SE + EA = SA$. SA = 8. Модуль = 8. 20. Ромб AZHX. E - пересечение диагоналей. AZ + AX = 2AE (по правилу параллелограмма). Длина AZ + AX = 2 * (1/2 * AZ) = AZ? Нет. $\vec{AZ} + \vec{AX} = \vec{AH}$. Модуль равен AH = 144.