1. Диагонали прямоугольника MNKP пересекаются в точке O, ∠MON = 64°. Найдите угол OMP.

1. В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, треугольник MON — равнобедренный (OM = ON). Сумма углов треугольника равна 180°. Углы при основании равны: ∠OMN = ∠ONM = (180° - 64°) / 2 = 116° / 2 = 58°. В прямоугольнике угол M = 90°. Тогда ∠OMP = ∠MNP - ∠ONM = 90° - 58° = 32°. Ответ: 32°. 2. У равнобокой трапеции углы при каждом основании равны. Обозначим меньший угол за x, тогда больший равен x + 30°. Сумма углов при боковой стороне равна 180° (так как основания параллельны). Получаем уравнение: x + (x + 30°) = 180°. 2x = 150°, откуда x = 75°. Больший угол: 75° + 30° = 105°. Углы трапеции: 75°, 105°, 105°, 75°. Ответ: 75°, 105°, 105°, 75°. 3. Пусть стороны параллелограмма равны 3x и 1x. Периметр параллелограмма равен 2 * (a + b). Получаем уравнение: 2 * (3x + x) = 40. 2 * 4x = 40, 8x = 40, x = 5 см. Стороны: 3 * 5 = 15 см и 1 * 5 = 5 см. Ответ: 5 см, 15 см, 5 см, 15 см. 4. В прямоугольной трапеции два угла прямые (90°). Разность углов при одной из боковых сторон (не боковой, которая перпендикулярна основаниям) равна 48°. Обозначим углы как α и β, где α - β = 48°. Так как сумма этих углов 180°, получаем систему: α + β = 180° и α - β = 48°. Сложим уравнения: 2α = 228°, α = 114°. Тогда β = 180° - 114° = 66°. Углы трапеции: 90°, 90°, 114°, 66°. Ответ: 90°, 90°, 114°, 66°. 5. * В ромбе ABCD диагонали перпендикулярны (AC ⊥ BD). В треугольнике ABM (где BM — высота, ∠BMA=90°) угол BAM — внешний для треугольника AOB, или рассмотрим свойства ромба. Если BM — высота, проведенная из B на продолжение AD, то ∠ABM = 30° (дано: высота со стороной AB образует 30°). В прямоугольном треугольнике ABM катет AM, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы AB. В треугольнике AOB (O — точка пересечения диагоналей) ∠OAB = 90° - ∠OBA. В ромбе диагонали делят углы пополам. Используя свойства ромба и данные, AM = AB * sin(30°) = AB / 2. Учитывая геометрию ромба: AC = 6, значит AO = 3. В прямоугольном треугольнике AOB (∠AOB=90°) сторона AB зависит от угла. AM = AB * cos(∠MAB). В данной конфигурации AM = 3 см. Ответ: 3 см.