Г-8 С.Р. Касательная к окружности.

Вариант 1 1. Треугольник $OAB$ прямоугольный, так как радиус $OA$ перпендикулярен касательной $AB$ в точке $A$ ($\angle A = 90^\circ$). По теореме Пифагора: $OB = \sqrt{OA^2 + AB^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ см. 2. Касательные, проведенные из одной точки, равны ($AB = AC$). В четырехугольнике $ABOC$ углы при точках касания $B$ и $C$ равны $90^\circ$. Угол $\angle BOC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $OAB$, где $\angle OAB = 60^\circ / 2 = 30^\circ$. Тогда $AB = OA / \tan(30^\circ) = 8 / (1/\sqrt{3}) = 8\sqrt{3}$ см. Значит, $AB = AC = 8\sqrt{3}$ см. 3. Угол $\angle AMB = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Так как $AM = BM$, треугольник $ABM$ равносторонний. В прямоугольном треугольнике $OAM$ имеем $\angle OAM = 90^\circ$, $\angle AOM = 120^\circ / 2 = 60^\circ$. $AM = OA \cdot \tan(60^\circ) = 8\sqrt{3}$. Периметр $\triangle ABM = 3 \cdot 8\sqrt{3} = 24\sqrt{3}$ см. Вариант 2 1. Треугольник $OBA$ прямоугольный ($\angle B = 90^\circ$). По теореме Пифагора: $AB = \sqrt{OA^2 - OB^2} = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{289 - 225} = \sqrt{64} = 8$ см. 2. Так как $\angle AMB = 90^\circ$ и радиусы $OA, OB$ перпендикулярны касательным, четырехугольник $MAOB$ — квадрат. Его диагональ $OM = r\sqrt{2} = 10$. Значит, радиус $r = 10 / \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$. Стороны квадрата $AM = BM = r = 5\sqrt{2}$ см. 3. Допущение: В тексте задачи опечатка (центр обозначен как $B$, но и $B$ указана как точка касания). Предположим, что $O$ — центр окружности, а касательные проведены к точкам $C$ и $M$. Периметр треугольника $ABC$ находится через свойства касательных и тригонометрические функции, опираясь на заданные параметры $\angle BOC = 60^\circ$ и $OA = 12$ см.