Question

В1. Найдите наименьший угол параллелограмма, если одна из его диагоналей является высотой и равна одной из его сторон.

Accepted Answer

Пусть дан параллелограмм $ABCD$, где $AC$ — диагональ. По условию, диагональ $AC$ является высотой к стороне $CD$ (значит, $AC \perp CD$, $\angle ACD = 90^\circ$) и $AC = CD$.

1. Рассмотрим треугольник $ACD$. Он прямоугольный (так как $\angle ACD = 90^\circ$) и равнобедренный ($AC = CD$).
2. В таком треугольнике острые углы равны: $\angle CAD = \angle CDA = 45^\circ$.
3. Так как $AB \parallel CD$, то $\angle BAC = \angle ACD = 90^\circ$ (как накрест лежащие при параллельных прямых), но это невозможно, так как тогда сумма углов треугольника $ABC$ была бы больше 180 градусов, если бы $AC$ была высотой к $CD$ внутри.

Разберем корректнее: пусть диагональ $AC$ — высота к стороне $CD$. Значит, треугольник $ACD$ прямоугольный. По условию, $AC = CD$. Тогда $\angle D = 45^\circ$.
Углы параллелограмма, прилежащие к одной стороне, в сумме дают 180 градусов. Значит, второй угол $\angle A = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.
Наименьший из углов равен $45^\circ$.

Ответ: 45°

В1. Найдите наименьший угол параллелограмма, если одна из его диагоналей является высотой и равна одной из его сторон.

Ответ ассистента

Другие решения