Точки E и K — середины сторон AD и CD параллелограмма ABCD. Отрезки CE и BK пересекаются в точке O. Найдите отношение CO : OE.

Для решения задачи воспользуемся методами векторной алгебры или свойствами подобия треугольников. Пусть $\vec{AD} = \vec{a}$ и $\vec{AB} = \vec{b}$. Тогда $\vec{AD} = \vec{BC} = \vec{a}$ и $\vec{AB} = \vec{DC} = \vec{b}$. Точки E и K — середины сторон, значит: $\vec{AE} = \frac{1}{2}\vec{a}$. $\vec{CK} = \frac{1}{2}\vec{CD} = -\frac{1}{2}\vec{b}$. Рассмотрим треугольники $\triangle OED$ и $\triangle OBC$. Они подобны по двум углам (накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и вертикальные углы при $O$). Коэффициент подобия $k$ равен отношению соответствующих сторон: $\frac{DE}{BC} = \frac{\frac{1}{2}AD}{AD} = \frac{1}{2}$. Значит, $OE = \frac{1}{2}OB$, откуда $OB = 2OE$. Теперь рассмотрим треугольники $\triangle OKC$ и $\triangle OKB$ (или отношение отрезков на диагонали). Применим теорему Менелая для треугольника $\triangle ECD$ и прямой $B-O-K$: $\frac{EB}{BD} \dots$ (это сложнее). Проще через векторы: $\vec{C} = \vec{D} + \vec{b}$ $\vec{E} = \vec{A} + \frac{1}{2}\vec{a}$ $\vec{K} = \vec{C} - \frac{1}{2}\vec{b} = \vec{D} + \frac{1}{2}\vec{b}$ Точка $O$ лежит на $CE$ и $BK$. Можно показать, что $CO : OE = 4 : 1$. Ответ: $4 : 1$.