Выясните, равносильны ли уравнения: а) 5x - 4 = 3x + 2 и 2x = 6;

Два уравнения (или неравенства) называются равносильными, если они имеют одни и те же корни (или решения). Если у них разные множества решений, они не являются равносильными. ### Задание 1 **а)** $5x - 4 = 3x + 2$ и $2x = 6$. 1. $5x - 3x = 2 + 4 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3$. 2. $2x = 6 \Rightarrow x = 3$. Корни совпадают. **Ответ: Равносильны.** **б)** $(x - 5)(x + 2) = 0$ и $-3x - 10 = 0$. 1. $(x - 5)(x + 2) = 0 \Rightarrow x_1 = 5, x_2 = -2$. 2. $-3x = 10 \Rightarrow x = -10/3$. Корни не совпадают. **Ответ: Не равносильны.** ### Задание 2 **а)** $\sqrt{x + 5} = x - 1$ и $x + 5 = (x - 1)^2$. 1. $\sqrt{x + 5} = x - 1$. ОДЗ: $x+5 \ge 0$ и $x-1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$. Возводим в квадрат: $x + 5 = x^2 - 2x + 1 \Rightarrow x^2 - 3x - 4 = 0$. Корни $x_1=4, x_2=-1$. Условию $x \ge 1$ удовлетворяет только $x=4$. 2. $x + 5 = x^2 - 2x + 1 \Rightarrow x^2 - 3x - 4 = 0$. Корни $x_1=4, x_2=-1$. Множества решений: {4} и {4, -1}. **Ответ: Не равносильны.** **б)** $\frac{x^2 - 9}{x - 3} = 0$ и $x + 3 = 0$. 1. $\frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = 0$. Условие: $x \ne 3$. Сокращаем: $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$. 2. $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$. Корни совпадают. **Ответ: Равносильны.** ### Задание 3 **а)** $4x - 3 > 0$ и $4x > 8$. 1. $4x > 3 \Rightarrow x > 0{,}75$. 2. $x > 2$. Решения разные. **Ответ: Не равносильны.** **б)** $(x - 2)(x + 5) < 0$ и $x^2 + 3x - 10 < 0$. 1. $(x - 2)(x + 5) < 0 \Rightarrow x \in (-5; 2)$. 2. $x^2 + 3x - 10 = (x+5)(x-2)$. Неравенство $(x+5)(x-2) < 0$ то же самое, что и первое. **Ответ: Равносильны.** **в)** $\frac{x - 1}{x + 2} \le 0$ и $(x - 1)(x + 2) \le 0$. 1. $\frac{x - 1}{x + 2} \le 0$. Решение: $x \in (-2; 1]$. 2. $(x - 1)(x + 2) \le 0$. Решение: $x \in [-2; 1]$. Точки $x = -2$ в первом случае нет (знаменатель равен нулю). **Ответ: Не равносильны.**