Question

Задание 1
Решите простейшие иррациональные уравнения (укажите, нужна ли проверка):

Accepted Answer

Задание 1. Решение простейших иррациональных уравнений

1) $\sqrt[3]{x} = 2$
Возведем обе части в куб: $x = 2^3 = 8$.
Проверка не является обязательной, так как корень нечетной степени определен для любого действительного числа.
Ответ: 8.

2) $\sqrt{2x-1} = 3$
Возведем обе части в квадрат (учитывая ОДЗ: $2x-1 \ge 0$): $2x-1 = 9 \Rightarrow 2x = 10 \Rightarrow x = 5$.
Проверка нужна, чтобы исключить посторонние корни, возникающие при возведении в четную степень. Проверка: $\sqrt{2 \cdot 5 - 1} = \sqrt{9} = 3$ (верно).
Ответ: 5.

Задание 2. Решение уравнений с проверкой

1) $\sqrt{x+3} = x-3$
Возведем в квадрат: $x+3 = (x-3)^2 \Rightarrow x+3 = x^2-6x+9 \Rightarrow x^2-7x+6 = 0$.
Корни уравнения по теореме Виета: $x_1=6, x_2=1$.
Проверка:
- При $x=6$: $\sqrt{6+3} = 3$, $6-3 = 3$. Верно ($3=3$).
- При $x=1$: $\sqrt{1+3} = 2$, $1-3 = -2$. Неверно ($2 
e -2$), посторонний корень.
Ответ: 6.

2) $\sqrt{5x-1} = x+1$
Возведем в квадрат: $5x-1 = (x+1)^2 \Rightarrow 5x-1 = x^2+2x+1 \Rightarrow x^2-3x+2 = 0$.
Корни уравнения по теореме Виета: $x_1=2, x_2=1$.
Проверка:
- При $x=2$: $\sqrt{5 \cdot 2 - 1} = \sqrt{9} = 3$, $2+1 = 3$. Верно ($3=3$).
- При $x=1$: $\sqrt{5 \cdot 1 - 1} = \sqrt{4} = 2$, $1+1 = 2$. Верно ($2=2$).
Ответ: 1, 2.

Задание 1 Решите простейшие иррациональные уравнения (укажите, нужна ли проверка):

Ответ ассистента

Другие решения