Найдите периметр параллелограмма ABCD

### Задача 1 В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны равны ($AB = CD = 6$, $AD = BC$). Так как $AE = 2$ и $AB = 6$, а $E$ лежит на $AD$, нам не хватает данных о длине $ED$, чтобы найти всю сторону $AD$. *Предположение:* Если $CE$ — биссектриса угла $C$ (по рисунку углы $DCE$ и $ECB$ равны), то треугольник $DCE$ — равнобедренный ($DE=CD=6$). Тогда $AD = AE + ED = 2 + 6 = 8$. Периметр $P = 2 \cdot (AB + AD) = 2 \cdot (6 + 8) = 2 \cdot 14 = 28$. **Ответ: 28.** ### Задача 2 В параллелограмме $ABCD$ углы при одной стороне в сумме дают $180^\circ$. Пусть $\angle A = x$. Проведен перпендикуляр $BK$ к $AD$. В прямоугольном треугольнике $ABK$: $\sin A = \frac{BK}{AB}$. По условию $AD = BK$. Из свойств параллелограмма $AD = BC$, значит $BC = BK$. В треугольнике $BKC$ угол $BKC = 90^\circ$, $BC = BK$, значит треугольник равнобедренный прямоугольный, $\angle BCK = 45^\circ$. Угол $BCD = \angle BCK + \angle KCD$. Без дополнительных данных об угле $KCD$ задачу решить невозможно. *Возможное решение:* Если $AD=BK$ и $ABCD$ — параллелограмм, то $BK$ — высота. Если $BK = AB \cdot \sin A$, то $AD = AB \cdot \sin A$. Это невозможно, так как высота всегда меньше или равна боковой стороне. Возможно, опечатка в условии (например, $BK = AB/2$, что дает $\angle A=30^\circ$). ### Задача 3 1. Дано: $MPKH$ — четырехугольник, $\angle PMK = \angle HKM$, $PK \parallel MH$. 2. Из условия $\angle PMK = \angle HKM$ (накрест лежащие углы) следует, что $PM \parallel KH$. 3. Так как $PK \parallel MH$ и $PM \parallel KH$, то $MPKH$ — параллелограмм. 4. Пусть диагонали $MK$ и $PH$ пересекаются в точке $O$. По свойству параллелограмма, диагонали точкой пересечения делятся пополам ($PO = OH$, $MO = OK$). 5. Через точку $O$ проведена прямая, пересекающая $PK$ в $A$ и $MH$ в $B$. 6. Рассмотрим треугольники $\triangle OAP$ и $\triangle OBH$: - $PO = OH$ (свойство диагоналей); - $\angle AOP = \angle BOH$ (вертикальные); - $\angle APO = \angle BHO$ (накрест лежащие при $PK \parallel MH$); 7. Значит, $\triangle OAP = \triangle OBH$ по стороне и двум прилежащим углам. 8. Из равенства треугольников следует $AP = HB$. Что и требовалось доказать.