1. Основание равнобедренного треугольника равно 4. Медиана боковой стороны равна 5. Найдите длину боковой стороны.

Решение задачи 1: Пусть стороны равнобедренного треугольника равны $a$ (боковые) и $b=4$ (основание). Пусть медиана $m_a$ проведена к боковой стороне $a$. Формула длины медианы, проведенной к стороне $a$: $m_a = \frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}$. В нашем случае стороны $a$, $a$, $4$. Медиана к стороне $a$ равна 5. Формула медианы к стороне $a$ в треугольнике со сторонами $a, a, 4$ выглядит так: $m_a^2 = \frac{2a^2 + 2(4)^2 - a^2}{4} = \frac{a^2 + 32}{4}$. $5^2 = \frac{a^2 + 32}{4} \Rightarrow 25 = \frac{a^2 + 32}{4} \Rightarrow 100 = a^2 + 32 \Rightarrow a^2 = 68$. $a = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}$. Ответ: $2\sqrt{17}$. Решение задачи 2: Пусть боковые стороны $a=6$, основание $b$. Медиана $m_a = 4$ проведена к боковой стороне $a=6$. Используем ту же формулу: $m_a^2 = \frac{2b^2 + 2a^2 - a^2}{4} = \frac{2b^2 + a^2}{4}$. $4^2 = \frac{2b^2 + 6^2}{4} \Rightarrow 16 = \frac{2b^2 + 36}{4} \Rightarrow 64 = 2b^2 + 36 \Rightarrow 2b^2 = 28 \Rightarrow b^2 = 14$. $b = \sqrt{14}$. Ответ: $\sqrt{14}$.