Question

15. Решите уравнение x^2 + x + 1/x + 1/x^2 = 4

Accepted Answer

Для решения уравнения $x^2 + x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 4$ сгруппируем слагаемые:

1. Перепишем уравнение так: $(x^2 + \frac{1}{x^2}) + (x + \frac{1}{x}) = 4$.
2. Введем замену: пусть $t = x + \frac{1}{x}$.
3. Возведем обе части замены в квадрат: $t^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$.
   Отсюда $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$.
4. Подставим в исходное уравнение:
   $(t^2 - 2) + t = 4$
   $t^2 + t - 6 = 0$
5. Решим квадратное уравнение через дискриминант или теорему Виета:
   $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$
   $t_1 = \frac{-1 + 5}{2} = 2$
   $t_2 = \frac{-1 - 5}{2} = -3$
6. Вернемся к переменной $x$ (решим $x + \frac{1}{x} = t$):
   а) $x + \frac{1}{x} = 2 \Rightarrow x^2 - 2x + 1 = 0 \Rightarrow (x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1$.
   б) $x + \frac{1}{x} = -3 \Rightarrow x^2 + 3x + 1 = 0$.
   Найдем дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5$.
   Корни: $x = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Ответ: $1; \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$.

15. Решите уравнение x^2 + x + 1/x + 1/x^2 = 4

Ответ ассистента

Другие решения