3. Один из смежных углов в четыре раза меньше другого. Найдите углы, которые образует биссектриса меньшего угла со сторонами большего.

### Задача 3 **Дано:** Смежные углы, один меньше другого в 4 раза. **Найти:** Углы, которые образует биссектриса меньшего угла со сторонами большего угла. **Решение:** 1. Пусть меньший угол равен $x$. Тогда больший угол равен $4x$. 2. Сумма смежных углов равна $180^\circ$: $x + 4x = 180^\circ$ $5x = 180^\circ$ $x = 36^\circ$ 3. Больший угол равен $4 \cdot 36^\circ = 144^\circ$. 4. Биссектриса делит меньший угол ($36^\circ$) пополам. Угол между биссектрисой и стороной меньшего угла равен $36^\circ : 2 = 18^\circ$. 5. Так как меньший и больший углы смежные, у них есть общая сторона. Биссектриса лежит внутри меньшего угла. - Угол между биссектрисой и общей стороной равен $18^\circ$. - Угол между биссектрисой и второй стороной большего угла равен сумме угла между биссектрисой и общей стороной ($18^\circ$) и величины большего угла ($144^\circ$): $18^\circ + 144^\circ = 162^\circ$. **Ответ:** $18^\circ$ и $162^\circ$. *** ### Задача 4* **Дано:** Прямые $MN$ и $PK$ пересекаются в точке $E$. $EC$ — биссектриса угла $\angle MED$. $\angle CEK = 137^\circ$. **Найти:** $\angle KEM$. **Решение:** *Примечание: Поскольку без чертежа расположение точки D неясно, приводим общий метод решения для таких задач.* 1. Пусть $\angle MEC = \angle CED = x$ (так как $EC$ — биссектриса). 2. Тогда $\angle MED = 2x$. 3. Угол $\angle CEK = \angle CED + \angle DEK$ (если $D$ находится между лучами $EC$ и $EK$). 4. Используя данные условия, составляется уравнение: $x + \angle DEK = 137^\circ$. 5. Зная, что $MN$ и $PK$ — прямые, можно выразить искомый угол $\angle KEM$ через вертикальные или смежные углы в зависимости от того, на какой прямой лежит точка $D$. *Для получения точного численного ответа, пожалуйста, сверьтесь с рисунком в учебнике, где указано положение точки D относительно лучей EK и EM.*