Найти стороны параллелограмма АВСД, если его периметр равен 40 см, а сторона АВ больше ВС на 4 см.

Решение задач контрольной работы: **1. Стороны параллелограмма** Пусть $BC = x$ см, тогда $AB = x + 4$ см. Периметр $P = 2(AB + BC)$. $40 = 2(x + 4 + x) 20 = 2x + 4 2x = 16 x = 8$. $BC = AD = 8$ см, $AB = CD = 8 + 4 = 12$ см. **Ответ: 8 см, 12 см, 8 см, 12 см.** **2. Углы параллелограмма** Сумма соседних углов параллелограмма равна $180^\circ$. Пусть $\angle B = x$, тогда $\angle A = 3x$. $x + 3x = 180^\circ 4x = 180^\circ x = 45^\circ$. $\angle B = \angle D = 45^\circ$, $\angle A = \angle C = 3 \cdot 45^\circ = 135^\circ$. **Ответ: $45^\circ, 135^\circ, 45^\circ, 135^\circ$.** **3. Углы равнобедренной трапеции** Углы при каждом основании равнобедренной трапеции равны. Если один из углов $75^\circ$, то другой угол при этом же основании тоже $75^\circ$. Углы при другом основании будут равны $180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$ (они тоже равны между собой). **Ответ: $75^\circ, 75^\circ, 105^\circ, 105^\circ$.** **4. Диагонали прямоугольника** В прямоугольнике $ABCD$ диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Рассмотрим $\triangle ACD$ (прямоугольный, так как $\angle D = 90^\circ$). В нем $\angle CAD = 30^\circ$, сторона $CD = 4$ см (катет, противолежащий углу $30^\circ$). Гипотенуза $AC = CD / \sin(30^\circ) = 4 / 0,5 = 8$ см. Диагонали равны $AC = BD = 8$ см. **Ответ: 8 см.** **5. Углы треугольника BOC** В ромбе $ABCD$ диагонали пересекаются под прямым углом ($\angle BOC = 90^\circ$). Диагонали ромба делят его углы пополам. $\angle OCB = \angle BCD / 2$. Так как $\angle A = 60^\circ$, то $\angle B = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Угол $\angle BCD = \angle A = 60^\circ$ (противолежащие углы ромба). $\angle OCB = 60^\circ / 2 = 30^\circ$. $\angle OBC = 120^\circ / 2 = 60^\circ$. **Ответ: $90^\circ, 60^\circ, 30^\circ$.**