Question

Средняя линия прямоугольной трапеции равна 14 см, а её высота, проведённая из вершины тупого угла, делит основание в отношении 3 : 1, считая от вершины прямого угла. Найдите основания трапеции.

Accepted Answer

Допущение: Мы решаем задачу №70.

Пусть $ABCD$ — прямоугольная трапеция ($AD \parallel BC$, $\angle A = \angle B = 90^\circ$).
Пусть $AD$ — большее основание, $BC$ — меньшее основание. Средняя линия трапеции $m = \frac{AD + BC}{2} = 14$ см.
Отсюда $AD + BC = 28$ см.

Проведём высоту $CH$ из тупого угла $C$. Так как $ABCD$ — прямоугольная трапеция, $ABCH$ — прямоугольник, значит $AH = BC$, а $AB = CH$.
Высота $CH$ делит основание $AD$ на отрезки $AH$ и $HD$ в отношении $3:1$, считая от вершины прямого угла $A$. То есть $AH : HD = 3 : 1$.
Пусть $HD = x$, тогда $AH = 3x$.
Так как $AH = BC$, то $BC = 3x$.
Основание $AD = AH + HD = 3x + x = 4x$.

Подставим в сумму оснований:
$4x + 3x = 28$
$7x = 28$
$x = 4$ см.

Тогда меньшее основание $BC = 3 \cdot 4 = 12$ см.
Большее основание $AD = 4 \cdot 4 = 16$ см.

Ответ: 12 см и 16 см.

Ответ ассистента

Другие решения