1. Баржа прошла по течению реки 32 км и, повернув обратно, прошла ещё 24 км, затратив на весь путь 4 часа. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

1. Пусть $x$ км/ч — собственная скорость баржи. Тогда скорость по течению: $(x+5)$ км/ч, против течения: $(x-5)$ км/ч. Время в пути: $32/(x+5) + 24/(x-5) = 4$. Сократим на 4: $8/(x+5) + 6/(x-5) = 1$. Приведя к общему знаменателю $(x+5)(x-5)=x^2-25$: $8(x-5) + 6(x+5) = x^2 - 25$. $8x - 40 + 6x + 30 = x^2 - 25$. $14x - 10 = x^2 - 25$. $x^2 - 14x - 15 = 0$. Корни: $x_1 = 15, x_2 = -1$. Скорость не может быть отрицательной, значит собственная скорость баржи 15 км/ч. Ответ: 15 км/ч. 2. Уравнение: $x^2/(x^2+3x-18) = (2x-15)/(18-3x-x^2)$. Заметим, что $18-3x-x^2 = -(x^2+3x-18)$. Пусть $D = x^2+3x-18$. Уравнение: $x^2/D = -(2x-15)/D$. Домножим на $D$ (при условии $D \neq 0$): $x^2 = -2x+15$. $x^2+2x-15=0$. $(x+5)(x-3)=0$. Корни: $x_1 = -5, x_2 = 3$. Проверим знаменатель: $(x^2+3x-18) = (x+6)(x-3)$. Значит $x \neq 3$ и $x \neq -6$. Корень $x=3$ не подходит. Ответ: -5. 3. Дробь равна 0, когда числитель равен 0, а знаменатель нет: $p^2-3p-10=0$. $(p-5)(p+2)=0$. $p_1=5, p_2=-2$. Проверим знаменатель $p-3p^2 \neq 0$, то есть $p(1-3p) \neq 0$ ($p \neq 0, p \neq 1/3$). Оба корня подходят. Ответ: 5; -2.