Решите задачи, выполнив чертеж: 1. В треугольнике ABC проведена медиана BM. Известно, что 2BM = AB и ∠ABM = 70°.

Решение задач: 1. В треугольнике ABC: BM — медиана, значит M — середина AC. По условию 2BM = AB, откуда BM = 0.5 * AB. Рассмотрим треугольник ABM. Так как BM = 0.5 * AB, то в треугольнике, где медиана к стороне равна половине этой стороны, этот треугольник является прямоугольным, но здесь медиана BM выходит из вершины B к стороне AC. Это свойство выполняется для прямоугольного треугольника, где медиана, проведенная к гипотенузе, равна её половине. Однако здесь BM — медиана к стороне AC. Если BM = 0.5 * AB, то треугольник ABM — равнобедренный с основанием AM (BM = AM). В равнобедренном треугольнике ABM углы при основании равны: ∠BAM = ∠ABM = 70°. Тогда угол ABM (при вершине B) равен 180° - (70° + 70°) = 40°. В условии сказано ∠ABM = 70°, что противоречит равенству сторон. Значит, треугольник не может существовать с такими данными. Вероятно, опечатка в условии: либо медиана к другой стороне, либо иные углы. Если допустить, что ∠ABM — это часть угла B, то без корректных данных задача не решается. 2. В трапеции ABCD (BC || AD), AD = 2BC. M — середина AD, значит AM = MD = 0.5 * AD. Так как AD = 2BC, то AM = BC. В четырехугольнике ABCM: BC || AM (так как BC || AD) и BC = AM. По признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Значит, ABCM — параллелограмм. Что и требовалось доказать.