ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 9

### Ответ 1) **Рациональное число** (значение выражения: $-1$) 2) **Иррациональное число** (значение выражения: $12\sqrt{3} - 31$) 3) **Рациональное число** (значение выражения: $18$) 4) **Рациональное число** (значение выражения: $8$) 5) **Рациональное число** (значение выражения: $8$) 6) **Иррациональное число** (значение выражения: $-15 - 6\sqrt{5}$) --- ### Решение и объяснение Напомним: * **Рациональное число** — это число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное (в частности, все целые числа являются рациональными). * **Иррациональное число** — это действительное число, которое нельзя записать в виде обыкновенной дроби (бесконечная непериодическая десятичная дробь). --- #### 1) $(\sqrt{8} - 3)(3 + 2\sqrt{2})$ 1. Вынесем множитель из-под знака корня: $$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$$ 2. Перепишем выражение и воспользуемся формулой разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$: $$(2\sqrt{2} - 3)(2\sqrt{2} + 3) = (2\sqrt{2})^2 - 3^2 = 8 - 9 = -1$$ Число $-1$ является целым, а значит, **рациональным**. --- #### 2) $(\sqrt{27} - 2)(2 - 3\sqrt{3})$ 1. Упростим корень: $$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$$ 2. Подставим в выражение и раскроем скобки: $$(3\sqrt{3} - 2)(2 - 3\sqrt{3}) = 3\sqrt{3} \cdot 2 - (3\sqrt{3}) \cdot (3\sqrt{3}) - 2 \cdot 2 + 2 \cdot 3\sqrt{3} =$$ $$= 6\sqrt{3} - 27 - 4 + 6\sqrt{3} = 12\sqrt{3} - 31$$ Так как результат содержит корень $\sqrt{3}$, который не извлекается нацело, число $12\sqrt{3} - 31$ является **иррациональным**. --- #### 3) $(\sqrt{50} + 4\sqrt{2})\sqrt{2}$ 1. Упростим корень: $$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$$ 2. Выполним действия: $$(\sqrt{50} + 4\sqrt{2})\sqrt{2} = (5\sqrt{2} + 4\sqrt{2})\sqrt{2} = (9\sqrt{2})\sqrt{2} = 9 \cdot 2 = 18$$ Число $18$ — целое, следовательно, **рациональное**. --- #### 4) $(5\sqrt{3} + \sqrt{27}) : \sqrt{3}$ 1. Упростим $\sqrt{27}$: $$\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$$ 2. Выполним сложение в скобках, а затем деление: $$(5\sqrt{3} + 3\sqrt{3}) : \sqrt{3} = (8\sqrt{3}) : \sqrt{3} = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 8$$ Число $8$ является **рациональным**. --- #### 5) $(\sqrt{3} - 1)^2 + (\sqrt{3} + 1)^2$ 1. Применим формулы квадрата разности и квадрата суммы: $$(\sqrt{3} - 1)^2 = (\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3} + 1^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3}$$ $$(\sqrt{3} + 1)^2 = (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3} + 1^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3}$$ 2. Сложим полученные выражения: $$(4 - 2\sqrt{3}) + (4 + 2\sqrt{3}) = 4 + 4 = 8$$ Число $8$ является **рациональным**. --- #### 6) $(\sqrt{5} - 1)^2 - (2\sqrt{5} + 1)^2$ 1. Раскроем каждую скобку по формулам сокращенного умножения: $$(\sqrt{5} - 1)^2 = (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5} + 1 = 5 - 2\sqrt{5} + 1 = 6 - 2\sqrt{5}$$ $$(2\sqrt{5} + 1)^2 = (2\sqrt{5})^2 + 2 \cdot 2\sqrt{5} \cdot 1 + 1^2 = 20 + 4\sqrt{5} + 1 = 21 + 4\sqrt{5}$$ 2. Выполним вычитание: $$(6 - 2\sqrt{5}) - (21 + 4\sqrt{5}) = 6 - 2\sqrt{5} - 21 - 4\sqrt{5} = -15 - 6\sqrt{5}$$ Так как значение содержит корень $\sqrt{5}$, число $-15 - 6\sqrt{5}$ является **иррациональным**.