Гдз по алгебре за 9 класс Макарычев, Миндюк, Нешков ответ на номер 59

**Ответ:** а) $\dfrac{x - 3}{x + 8}$ б) $\dfrac{2x - 1}{x - 3}$ в) $\dfrac{x + 1}{x + 4}$ г) $\dfrac{1 - x}{2}$ *(или $\dfrac{x - 1}{-2}$)* --- ### Объяснение и пошаговое решение Для упрощения (сокращения) рациональных дробей раскладывают числитель и знаменатель на множители. Для разложения квадратного трехчлена на множители используется формула: $$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2),$$ где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. --- #### **а) $\dfrac{x^2 - 11x + 24}{x^2 - 64}$** 1. **Разложим числитель:** $x^2 - 11x + 24$ * Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 11x + 24 = 0$: По теореме Виета: $$\begin{cases} x_1 + x_2 = 11 \\ x_1 \cdot x_2 = 24 \end{cases} \implies x_1 = 3, \quad x_2 = 8$$ * Значит, $x^2 - 11x + 24 = (x - 3)(x - 8)$. 2. **Разложим знаменатель:** $x^2 - 64$ * Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $$x^2 - 64 = x^2 - 8^2 = (x - 8)(x + 8)$$ 3. **Сократим дробь:** $$\frac{x^2 - 11x + 24}{x^2 - 64} = \frac{(x - 3)(x - 8)}{(x - 8)(x + 8)} = \frac{x - 3}{x + 8} \quad (\text{при } x \neq 8, x \neq -8)$$ --- #### **б) $\dfrac{2x^2 + 5x - 3}{x^2 - 9}$** 1. **Разложим числитель:** $2x^2 + 5x - 3$ * Решим уравнение $2x^2 + 5x - 3 = 0$: $$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$$ $$x_1 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \qquad x_2 = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3$$ * Разложение на множители: $$2x^2 + 5x - 3 = 2\left(x - \frac{1}{2}\right)(x + 3) = (2x - 1)(x + 3)$$ 2. **Разложим знаменатель:** $x^2 - 9$ $$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$$ 3. **Сократим дробь:** $$\frac{2x^2 + 5x - 3}{x^2 - 9} = \frac{(2x - 1)(x + 3)}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{2x - 1}{x - 3} \quad (\text{при } x \neq \pm 3)$$ --- #### **в) $\dfrac{x^2 - 3x - 4}{x^2 - 16}$** 1. **Разложим числитель:** $x^2 - 3x - 4$ * Найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$: По теореме Виета: $$\begin{cases} x_1 + x_2 = 3 \\ x_1 \cdot x_2 = -4 \end{cases} \implies x_1 = 4, \quad x_2 = -1$$ * Значит, $x^2 - 3x - 4 = (x - 4)(x + 1)$. 2. **Разложим знаменатель:** $x^2 - 16$ $$x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$$ 3. **Сократим дробь:** $$\frac{x^2 - 3x - 4}{x^2 - 16} = \frac{(x - 4)(x + 1)}{(x - 4)(x + 4)} = \frac{x + 1}{x + 4} \quad (\text{при } x \neq \pm 4)$$ --- #### **г) $\dfrac{3x^2 - 7x + 2}{2 - 6x}$** 1. **Разложим числитель:** $3x^2 - 7x + 2$ * Решим уравнение $3x^2 - 7x + 2 = 0$: $$D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 = 5^2$$ $$x_1 = \frac{7 + 5}{6} = 2, \qquad x_2 = \frac{7 - 5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$ * Разложение на множители: $$3x^2 - 7x + 2 = 3\left(x - \frac{1}{3}\right)(x - 2) = (3x - 1)(x - 2)$$ 2. **Разложим знаменатель:** $2 - 6x$ * Вынесем общий множитель $-2$ за скобки: $$2 - 6x = -2(3x - 1)$$ 3. **Сократим дробь:** $$\frac{3x^2 - 7x + 2}{2 - 6x} = \frac{(3x - 1)(x - 2)}{-2(3x - 1)} = \frac{x - 2}{-2} = \frac{2 - x}{2} = 1 - \frac{x}{2} \quad \left(\text{при } x \neq \frac{1}{3}\right)$$