Гдз по алгебре за 9 класс Макарычев, Миндюк, Нешков ответ на номер 83

### Ответ **а)** Значение выражения равно **$3 - 2\sqrt{3}$**. Данное число является **иррациональным** (в школьном задачнике в условии этого пункта допущена опечатка). **б)** Значение выражения равно **$74$**, что является **рациональным числом** (утверждение доказано). --- ### Объяснение и пошаговое решение Для решения воспользуемся ключевым свойством арифметического квадратного корня: $$\sqrt{a^2} = |a|$$ --- #### **Пункт а)** $$\sqrt{(7 - 4\sqrt{3})^2} - \sqrt{(4 - 2\sqrt{3})^2}$$ 1. Применим свойство корня: $$\sqrt{(7 - 4\sqrt{3})^2} - \sqrt{(4 - 2\sqrt{3})^2} = |7 - 4\sqrt{3}| - |4 - 2\sqrt{3}|$$ 2. Определим знаки выражений под знаком модуля: * Сравним $7$ и $4\sqrt{3}$: $$7 = \sqrt{49}, \quad 4\sqrt{3} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{48}$$ Так как $\sqrt{49} > \sqrt{48}$, то $7 > 4\sqrt{3}$, следовательно, $7 - 4\sqrt{3} > 0$. Раскрываем модуль: $|7 - 4\sqrt{3}| = 7 - 4\sqrt{3}$. * Сравним $4$ и $2\sqrt{3}$: $$4 = \sqrt{16}, \quad 2\sqrt{3} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{12}$$ Так как $\sqrt{16} > \sqrt{12}$, то $4 > 2\sqrt{3}$, следовательно, $4 - 2\sqrt{3} > 0$. Раскрываем модуль: $|4 - 2\sqrt{3}| = 4 - 2\sqrt{3}$. 3. Выполним вычитание: $$(7 - 4\sqrt{3}) - (4 - 2\sqrt{3}) = 7 - 4\sqrt{3} - 4 + 2\sqrt{3} = 3 - 2\sqrt{3}$$ *Число $3 - 2\sqrt{3}$ содержит корень $\sqrt{3}$, поэтому является иррациональным.* --- #### **Пункт б)** $$\sqrt{(37 + 12\sqrt{7})^2} + \sqrt{(37 - 12\sqrt{7})^2}$$ 1. Применим свойство корня: $$\sqrt{(37 + 12\sqrt{7})^2} + \sqrt{(37 - 12\sqrt{7})^2} = |37 + 12\sqrt{7}| + |37 - 12\sqrt{7}|$$ 2. Определим знаки подмодульных выражений: * Так как $37 > 0$ и $12\sqrt{7} > 0$, их сумма положительна: $$|37 + 12\sqrt{7}| = 37 + 12\sqrt{7}$$ * Сравним $37$ и $12\sqrt{7}$: $$37 = \sqrt{37^2} = \sqrt{1369}$$ $$12\sqrt{7} = \sqrt{12^2 \cdot 7} = \sqrt{144 \cdot 7} = \sqrt{1008}$$ Так как $\sqrt{1369} > \sqrt{1008}$, то $37 > 12\sqrt{7}$, следовательно, $37 - 12\sqrt{7} > 0$. Раскрываем модуль: $|37 - 12\sqrt{7}| = 37 - 12\sqrt{7}$. 3. Сложим полученные выражения: $$(37 + 12\sqrt{7}) + (37 - 12\sqrt{7}) = 37 + 12\sqrt{7} + 37 - 12\sqrt{7} = 74$$ *Число $74$ — целое, а любое целое число является рациональным ($74 \in \mathbb{Q}$). Доказано.*