ГДЗ по алгебре 9 класс Мерзляк Базовый уровень упражнение - 234

### Ответ 1) $(-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$ (или $x \neq 4$); 2) $(-\infty; +\infty)$ (или $x \in \mathbb{R}$); 3) $(-\infty; 2) \cup (2; 4) \cup (4; +\infty)$ (или $x \neq 2$ и $x \neq 4$); 4) $[3; +\infty)$; 5) $\{5\}$ (или $x = 5$); 6) $(-\infty; +\infty)$ (или $x \in \mathbb{R}$). --- ### Решение Область определения функции $D(f)$ — это множество всех значений аргумента $x$, при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл. При нахождении области определения учитываем основные правила: * знаменатель дроби не может быть равен нулю (деление на ноль невозможно); * подкоренное выражение квадратного корня должно быть неотрицательным (больше или равно нулю). --- **1) $f(x) = \dfrac{x + 3}{x - 4}$** Функция представляет собой дробь. Дробь имеет смысл, если её знаменатель отличен от нуля: $$x - 4 \neq 0 \implies x \neq 4$$ Таким образом, аргумент $x$ может принимать любые действительные значения, кроме $4$. **Область определения:** $D(f) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$. --- **2) $f(x) = \dfrac{9}{x^2 + 16}$** Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $$x^2 + 16 \neq 0$$ Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен ($x^2 \ge 0$), то: $$x^2 + 16 \ge 0 + 16 = 16 > 0$$ Знаменатель положителен при любых значениях переменной $x$ и никогда не обращается в ноль. **Область определения:** $D(f) = (-\infty; +\infty)$. --- **3) $f(x) = \dfrac{5x + 1}{x^2 - 6x + 8}$** Знаменатель дроби не должен обращаться в ноль: $$x^2 - 6x + 8 \neq 0$$ Найдём корни уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$ по теореме Виета или через дискриминант: $$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4 = 2^2$$ $$x_1 = \frac{6 - 2}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4$$ Значит, знаменатель обращается в ноль при $x = 2$ и $x = 4$. Эти значения необходимо исключить: $$x \neq 2 \quad \text{и} \quad x \neq 4$$ **Область определения:** $D(f) = (-\infty; 2) \cup (2; 4) \cup (4; +\infty)$. --- **4) $f(x) = \sqrt{x - 1} + \sqrt{x - 3}$** Функция содержит квадратные корни. Выражения под каждым из корней должны быть неотрицательными, то есть должна выполняться система неравенств: $$\begin{cases} x - 1 \ge 0, \\ x - 3 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 1, \\ x \ge 3 \end{cases}$$ Пересечением промежутков $[1; +\infty)$ и $[3; +\infty)$ является промежуток $[3; +\infty)$. **Область определения:** $D(f) = [3; +\infty)$. --- **5) $f(x) = \sqrt{x - 5} + \sqrt{5 - x}$** Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными: $$\begin{cases} x - 5 \ge 0, \\ 5 - x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 5, \\ x \le 5 \end{cases}$$ Единственным числом, которое одновременно удовлетворяет обоим неравенствам ($x \ge 5$ и $x \le 5$), является число $5$. **Область определения:** $D(f) = \{5\}$. --- **6) $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$** Подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю: $$x^2 + 1 \ge 0$$ Поскольку для любого действительного числа $x$ верно неравенство $x^2 \ge 0$, то: $$x^2 + 1 \ge 1 > 0$$ Неравенство выполняется при всех действительных значениях $x$. **Область определения:** $D(f) = (-\infty; +\infty)$.