6. Сумма второго и третьего членов геометрической прогрессии равна 30, а разность четвертого и второго членов равна 90. Найдите сумму пяти первых членов этой прогрессии.

Question

Вопрос:

6. Сумма второго и третьего членов геометрической прогрессии равна 30, а разность четвертого и второго членов равна 90. Найдите сумму пяти первых членов этой прогрессии.

Ответ ассистента

Accepted Answer

Пусть $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — знаменатель. Тогда члены прогрессии выражаются так: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Запишем условия задачи: 1) $b_2 + b_3 = 30 \Rightarrow b_1q + b_1q^2 = 30$ 2) $b_4 - b_2 = 90 \Rightarrow b_1q^3 - b_1q = 90$ Преобразуем уравнения: 1) $b_1q(1 + q) = 30$ 2) $b_1q(q^2 - 1) = 90 \Rightarrow b_1q(q - 1)(q + 1) = 90$ Разделим второе уравнение на первое: $\frac{b_1q(q - 1)(q + 1)}{b_1q(1 + q)} = \frac{90}{30}$ $q - 1 = 3$ $q = 4$ Теперь найдем $b_1$ из первого уравнения: $b_1 \cdot 4 \cdot (1 + 4) = 30$ $20b_1 = 30$ $b_1 = 1,5$ Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии $S_n = b_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}$: $S_5 = 1,5 \cdot \frac{4^5 - 1}{4 - 1}$ $S_5 = 1,5 \cdot \frac{1024 - 1}{3}$ $S_5 = 1,5 \cdot \frac{1023}{3}$ $S_5 = 1,5 \cdot 341 = 511,5$ **Ответ: 511,5**

Ответ ассистента

Другие решения