Допущение: задания I варианта из фото.

Давай разберем задания из I варианта. Если тебе нужны решения других вариантов, напиши, я помогу. ### Часть 1. Неопределенные интегралы 1. а) $\int \frac{3x}{x^2+4} dx$ Замена: $u = x^2+4$, $du = 2x dx \Rightarrow x dx = \frac{1}{2} du$. Решение: $\frac{3}{2} \int \frac{1}{u} du = \frac{3}{2} \ln|x^2+4| + C$. 1. б) $\int \frac{4x}{\sqrt{x^2+2}} dx$ Замена: $u = x^2+2$, $du = 2x dx \Rightarrow 4x dx = 2 du$. Решение: $2 \int u^{-1/2} du = 2 \cdot \frac{u^{1/2}}{1/2} = 4\sqrt{x^2+2} + C$. 1. в) $\int \sin^3 x \cos x dx$ Замена: $u = \sin x$, $du = \cos x dx$. Решение: $\int u^3 du = \frac{\sin^4 x}{4} + C$. 2. а) $\int \sqrt{9-x^2} dx$ Используем формулу $\int \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2} \arcsin(\frac{x}{a}) + C$. Решение: $\frac{x}{2}\sqrt{9-x^2} + \frac{9}{2} \arcsin(\frac{x}{3}) + C$. 2. б) $\int \sqrt{1-16x^2} dx = \int \sqrt{1-(4x)^2} dx$ Решение: $\frac{x}{2}\sqrt{1-16x^2} + \frac{1}{8} \arcsin(4x) + C$. 2. в) $\int \text{tg } 3x dx$ Решение: $-\frac{1}{3} \ln|\cos 3x| + C = \frac{1}{3} \ln|\sec 3x| + C$. ### Часть 2. Определенные интегралы 1. а) $\int_1^4 5 dx = [5x]_1^4 = 5(4-1) = 15$. 1. б) $\int_{-8}^0 \frac{x}{2} dx = [\frac{x^2}{4}]_{-8}^0 = 0 - \frac{64}{4} = -16$. 1. в) $\int_1^7 (x+2) dx = [\frac{x^2}{2} + 2x]_1^7 = (24.5 + 14) - (0.5 + 2) = 38.5 - 2.5 = 36$. 2. а) $\int_{-3}^3 \sqrt{9-x^2} dx$ Это площадь полукруга с радиусом 3: $\frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{9\pi}{2} \approx 14.137$. 2. б) $\int_0^2 |2x-2| dx$ Разбиваем на интервалы: $\int_0^1 (2-2x) dx + \int_1^2 (2x-2) dx = [2x-x^2]_0^1 + [x^2-2x]_1^2 = (1-0) + (0 - (-1)) = 1+1=2$.