1. Вычислить: 2 log_3 6 - log_3 12

Привет! Давай разберем задания с доски. ### 1. Вычислить: $2 \log_3 6 - \log_3 12 = \log_3(6^2) - \log_3 12 = \log_3 36 - \log_3 12 = \log_3(36/12) = \log_3 3 = 1$. **Ответ: 1.** ### 2. Найдите область определения выражения: $\log_6(3x - 15)$ Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $3x - 15 > 0$ $3x > 15$ $x > 5$ **Ответ: (5; +∞).** ### 3. Решить уравнение: $\lg(x - 9) + \lg(2x - 1) = 2$ Область определения: $x-9 > 0$ и $2x-1 > 0$, откуда $x > 9$. $\lg((x - 9)(2x - 1)) = 2$ $(x - 9)(2x - 1) = 10^2$ $2x^2 - x - 18x + 9 = 100$ $2x^2 - 19x - 91 = 0$ Дискриминант: $D = (-19)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-91) = 361 + 728 = 1089 = 33^2$. $x_1 = (19 + 33) / 4 = 52 / 4 = 13$ (подходит, $13 > 9$). $x_2 = (19 - 33) / 4 = -14 / 4 = -3.5$ (не подходит, меньше 9). **Ответ: 13.** ### 4. Решить неравенство: $3^{x^2 - 4} \leq 243$ $3^{x^2 - 4} \leq 3^5$ $x^2 - 4 \leq 5$ $x^2 \leq 9$ $|x| \leq 3$, значит $x \in [-3; 3]$. **Ответ: [-3; 3].** ### 5. Решить уравнение: $2 \cdot 25^x - 5 \cdot 10^x + 2 \cdot 4^x = 0$ Поделим всё на $4^x$ (так как $4^x \neq 0$): $2 \cdot (25/4)^x - 5 \cdot (10/4)^x + 2 = 0$ $2 \cdot (5/2)^{2x} - 5 \cdot (5/2)^x + 2 = 0$ Пусть $t = (5/2)^x, t > 0$. $2t^2 - 5t + 2 = 0$ $D = 25 - 16 = 9$ $t_1 = (5 + 3) / 4 = 2$ $t_2 = (5 - 3) / 4 = 0.5 = 1/2$ Вернемся к $x$: 1) $(5/2)^x = 2 \Rightarrow x = \log_{2.5} 2 = \ln 2 / \ln 2.5$ 2) $(5/2)^x = 1/2 \Rightarrow x = \log_{2.5} 0.5 = \log_{2.5} (1/2) = -\log_{2.5} 2 = -\ln 2 / \ln 2.5$ **Ответ: $\pm \log_{2.5} 2$.**