Найдите вероятность появления ровно трёх орлов, если монетку бросают: а) 3 раза; б) 7 раз; в) 9 раз; г) n раз.

Для решения этих задач воспользуемся формулой Бернулли: $P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$, где: - $n$ — число испытаний; - $k$ — число успехов; - $p$ — вероятность успеха в одном испытании ($p=0{,}5$ для монеты, $p=1/6$ для игральной кости); - $q = 1 - p$ — вероятность неудачи. ### Задача 447 (Монета: $p=0{,}5$, $q=0{,}5$) Формула: $P_n(3) = C_n^3 (0{,}5)^3 (0{,}5)^{n-3} = C_n^3 (0{,}5)^n = \frac{n!}{3!(n-3)!} \cdot 0{,}5^n$ а) $n=3, k=3$: $P = C_3^3 (0{,}5)^3 = 1 \cdot 0{,}125 = 0{,}125 = 1/8$ б) $n=7, k=3$: $P = C_7^3 (0{,}5)^7 = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot \frac{1}{128} = 35 \cdot \frac{1}{128} = \frac{35}{128} \approx 0{,}273$ в) $n=9, k=3$: $P = C_9^3 (0{,}5)^9 = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot \frac{1}{512} = 84 \cdot \frac{1}{512} = \frac{84}{512} = \frac{21}{128} \approx 0{,}164$ г) $n$ раз: $P = \frac{n(n-1)(n-2)}{6} \cdot 0{,}5^n = \frac{n(n-1)(n-2)}{6 \cdot 2^n}$ ### Задача 448 (Игральная кость: $p=1/6$, $q=5/6$, $n=6$) Формула: $P_6(k) = C_6^k (1/6)^k (5/6)^{6-k}$ а) $k=3$: $P = C_6^3 (1/6)^3 (5/6)^3 = 20 \cdot \frac{1}{216} \cdot \frac{125}{216} = \frac{2500}{46656} = \frac{625}{11664} \approx 0{,}054$ б) $k=5$: $P = C_6^5 (1/6)^5 (5/6)^1 = 6 \cdot \frac{1}{7776} \cdot \frac{5}{6} = \frac{30}{46656} = \frac{5}{7776} \approx 0{,}00064$ в) $k=1$: $P = C_6^1 (1/6)^1 (5/6)^5 = 6 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{3125}{7776} = \frac{3125}{7776} \approx 0{,}402$ г) $k=6$: $P = C_6^6 (1/6)^6 (5/6)^0 = 1 \cdot \frac{1}{46656} \cdot 1 = \frac{1}{46656} \approx 0{,}00002$ д) $k=2$: $P = C_6^2 (1/6)^2 (5/6)^4 = 15 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{625}{1296} = \frac{9375}{46656} = \frac{3125}{15552} \approx 0{,}201$ е) $k=0$: $P = C_6^0 (1/6)^0 (5/6)^6 = 1 \cdot 1 \cdot \frac{15625}{46656} = \frac{15625}{46656} \approx 0{,}335$ ### Задача 449 Событие: выпадение «Мотора» в 3 матчах из 5 ($n=5, k=3, p=0{,}5$). Вероятность успеха в одной серии: $P = C_5^3 (0{,}5)^3 (0{,}5)^2 = 10 \cdot 0{,}5^5 = 10 \cdot \frac{1}{32} = \frac{10}{32} = \frac{5}{16} = 0{,}3125$. Вероятность того, что результат в следующей серии повторится: так как это независимое событие, вероятность того, что в *конкретной* следующей серии случится то же самое, равна $0{,}3125$. Если же вопрос о вероятности того, что *вообще* в двух сериях будет одинаковый исход (неважно какой), это нужно суммировать вероятности для всех $k$ от 0 до 5: $P = \sum_{k=0}^5 (C_5^k 0{,}5^5)^2$.