В парном танцевальном конкурсе 21 участник: восемь пар из школы № 1, шесть из школы № 2 и семь из школы № 3.

6. В конкурсе 21 пара (8 + 6 + 7). Общее число перестановок равно 21!. Благоприятные исходы: на первом месте одна из 7 пар школы №3, на последнем месте одна из оставшихся 6 пар школы №3, остальные 19 пар на средних местах: $7 \cdot 6 \cdot 19!$. Вероятность $P = \frac{7 \cdot 6 \cdot 19!}{21!} = \frac{42}{21 \cdot 20 \cdot 19} = \frac{42}{7980} = \frac{1}{190}$. Ответ: 1/190 7. По формуле включений-исключений для множеств: $N(A \cup B) = N(A) + N(B) - N(A \cap B)$. Здесь $N(A) = 12$ (математика), $N(B) = 22$ (программирование), $N(A \cap B) = 11$ (оба кружка). Всего учащихся: $12 + 22 - 11 = 23$. Ответ: 23 8. График $f(x) = ax^2 + bx + c$. По графику вершина в точке $(1, -1)$. Значит, $f(x) = a(x-1)^2 - 1$. График проходит через $(0, 0)$, откуда $0 = a(0-1)^2 - 1 \Rightarrow a = 1$. Функция: $f(x) = (x-1)^2 - 1 = x^2 - 2x + 1 - 1 = x^2 - 2x$. Решаем $x^2 - 2x = 98$, $x^2 - 2x - 98 = 0$. Дискриминант $D = 4 - 4(1)(-98) = 4 + 392 = 396$. Корни $x = \frac{2 \pm \sqrt{396}}{2} = 1 \pm \sqrt{99} = 1 \pm 3\sqrt{11}$. Ответ: 1 - 3\sqrt{11}, 1 + 3\sqrt{11} 9. Сумма очков $S \in \{5, 6, 7, 8, 9\}$. Количество пар (первый кубик, второй кубик): - $S=5$: (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) - 4 исхода - $S=6$: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) - 5 исходов - $S=7$: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) - 6 исходов - $S=8$: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) - 5 исходов - $S=9$: (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) - 4 исхода Всего исходов $4+5+6+5+4 = 24$. Условие: выпало одинаково (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6). Сумма должна быть от 5 до 9. Это пары (3,3), (4,4), (5,5) - суммы 6, 8, 10. (10 не подходит). Подходят (3,3) и (4,4). Всего 2 благоприятных исхода. Вероятность $P = 2/24 = 1/12$. Ответ: 1/12 10. $\cos \alpha = -\frac{4\sqrt{3}}{7}$, $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ (II четверть, $\sin \alpha > 0$). $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \frac{16 \cdot 3}{49} = 1 - \frac{48}{49} = \frac{1}{49}$. $\sin \alpha = 1/7$. $\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1/7}{-4\sqrt{3}/7} = -\frac{1}{4\sqrt{3}}$. Формула двойного угла: $\text{tg } 2\alpha = \frac{2 \text{tg } \alpha}{1 - \text{tg}^2 \alpha} = \frac{2 \cdot (-1/(4\sqrt{3}))}{1 - 1/(16 \cdot 3)} = \frac{-1/(2\sqrt{3})}{1 - 1/48} = \frac{-1/(2\sqrt{3})}{47/48} = -\frac{48}{47 \cdot 2\sqrt{3}} = -\frac{24}{47\sqrt{3}} = -\frac{24\sqrt{3}}{141} = -\frac{8\sqrt{3}}{47}$. Ответ: -8\sqrt{3}/47