22. Постройте график функции y = { x^2 + 2x - 3, x >= -2, 4x + 15, x < -2. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Для решения задачи построим график функции: $y = \begin{cases} x^2 + 2x - 3, & x \geqslant -2 \\ 4x + 15, & x < -2 \end{cases}$ 1. При $x \geqslant -2$ график представляет собой параболу $y = x^2 + 2x - 3$. Вершина параболы находится в точке $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2} = -1$. Значение функции в вершине $y(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$. Точка $(-1; -4)$ — минимальное значение на этом участке, так как $-1 \geqslant -2$. В граничной точке $x = -2$: $y(-2) = (-2)^2 + 2(-2) - 3 = 4 - 4 - 3 = -3$. 2. При $x < -2$ график — это прямая $y = 4x + 15$. В граничной точке $x = -2$ значение $y = 4(-2) + 15 = 7$. Так как $x < -2$, эта часть графика заканчивается выколотой точкой $(-2; 7)$. Прямая $y = m$ — это горизонтальная линия. Чтобы она имела ровно две общие точки с графиком: - Вершина параболы в точке $y = -4$ дает одну точку пересечения. - При $-4 < m < 7$ прямая пересекает параболу в двух точках (одна слева, другая справа от вершины). - При $m = 7$ прямая проходит через «разрыв»: одна точка на параболе, а на прямой $y=4x+15$ точка выколота. - При $m > 7$ прямая пересекает только параболу (одна точка) и прямую (одна точка), итого две точки. Таким образом, график имеет две общие точки с прямой $y = m$ при $m \in (-4; 7) \cup (7; +\infty)$. :::div .chart-container @chart-1::: Ответ: $m \in (-4; 7) \cup (7; +\infty)$.