В параллелограмме ABCD биссектриса угла A, равного 60°, пересекает сторону BC в точке M. Отрезки AM и DM перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если AB = 4.

Давай разберем задачу по шагам. 1. В параллелограмме $ABCD$ биссектриса угла $A$ (равного $60^\circ$) пересекает $BC$ в точке $M$. Это значит, что $\angle BAM = \angle MAD = 60^\circ / 2 = 30^\circ$. 2. Так как $AD \parallel BC$, то накрест лежащие углы равны: $\angle AMB = \angle MAD = 30^\circ$. 3. В треугольнике $ABM$ угол $A = 30^\circ$, а угол $M = 30^\circ$. Значит, треугольник равнобедренный, и $AB = BM = 4$. 4. По условию $AM \perp DM$. Рассмотрим треугольник $ADM$. Угол $DAM = 30^\circ$. Так как сумма углов треугольника $180^\circ$, то $\angle ADM = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. 5. В треугольнике $ADM$ сторона $AD$ является гипотенузой для прямоугольного треугольника, если рассматривать проекцию, но проще через тригонометрию или свойства: $AD = AM / \cos(30^\circ)$ (но $AM$ пока неизвестна). 6. Рассмотрим треугольник $ABM$: $BM = 4$, $\angle B = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. По теореме синусов в $\triangle ABM$: $AM / \sin(120^\circ) = 4 / \sin(30^\circ) \Rightarrow AM = 4 \cdot \sin(120^\circ) / \sin(30^\circ) = 4 \cdot (\sqrt{3}/2) / (1/2) = 4\sqrt{3}$. 7. В прямоугольном треугольнике $ADM$ (угол $AMD=90^\circ$): $AD = AM / \cos(60^\circ) = 4\sqrt{3} / (1/2) = 8\sqrt{3}$. 8. Периметр параллелограмма: $P = 2 \cdot (AB + AD) = 2 \cdot (4 + 8\sqrt{3}) = 8 + 16\sqrt{3}$. **Ответ: 8 + 16\sqrt{3}**