Шар радиусом 8 см описан около правильной треугольной пирамиды. Боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол 30°. Вычислите объём пирамиды.

Пусть $R=8$ см — радиус описанной около пирамиды сферы, $H$ — высота пирамиды, $a$ — сторона основания, $b$ — боковое ребро. Так как пирамида правильная, ее основание — равносторонний треугольник. 1. Пусть $O$ — центр сферы, $S$ — вершина пирамиды, $A$ — одна из вершин основания. Треугольник $SOA$ является прямоугольным (в сечении), где $SA=b$, $AO=R=8$, $SO=H$. По условию, боковое ребро $SA$ образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Угол между ребром и плоскостью — это угол между ребром $SA$ и его проекцией на основание $AO'$ (где $O'$ — центр основания). Значит, $\angle SAO' = 30^\circ$. 2. Рассмотрим треугольник $SAO'$. Так как $SO' = H$, $SA = b$, то $H = b \cdot \sin 30^\circ = \frac{1}{2}b$, а $AO' = b \cdot \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}b$. 3. В треугольнике $SOO'$: $OO' = |H - R| = |\frac{b}{2} - 8|$. По теореме Пифагора $AO'^2 + OO'^2 = R^2$: $(\frac{\sqrt{3}}{2}b)^2 + (\frac{b}{2} - 8)^2 = 8^2$ $\frac{3}{4}b^2 + \frac{b^2}{4} - 8b + 64 = 64$ $b^2 - 8b = 0$ Так как $b \neq 0$, то $b = 8$. 4. Найдем высоту $H = \frac{b}{2} = 4$ см. 5. Найдем радиус описанной около основания окружности $r = AO' = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 8 = 4\sqrt{3}$ см. Сторона основания $a$ связана с радиусом описанной окружности $r$ формулой $a = r\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 12$ см. 6. Площадь основания $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{144\sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3}$ см$^2$. 7. Объем пирамиды $V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} \cdot 36\sqrt{3} \cdot 4 = 48\sqrt{3}$ см$^3$. **Ответ:** $48\sqrt{3}$ см$^3$.