При параллельном переносе точка А (2; 1; -1) переходит в точку А'(1; -1; 0). В какую точку переходит начало координат?

### Задача 24 При параллельном переносе координаты точки меняются на одни и те же величины: $x' = x + a$, $y' = y + b$, $z' = z + c$. Найдем вектор переноса, вычтя из координат точки $A'(1; -1; 0)$ координаты точки $A(2; 1; -1)$: $a = 1 - 2 = -1$ $b = -1 - 1 = -2$ $c = 0 - (-1) = 1$ Вектор переноса: $\vec{p} = (-1; -2; 1)$. Начало координат — это точка $O(0; 0; 0)$. При переносе она переходит в точку $O'(0 + (-1); 0 + (-2); 0 + 1) = (-1; -2; 1)$. **Ответ:** $(-1; -2; 1)$. ### Задача 25 Параллельный перенос существует, если векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ равны, так как при параллельном переносе все точки смещаются на один и тот же вектор. $ \begin{aligned} &1) \vec{AB} = (1-2; 0-1; 1-0) = (-1; -1; 1); \vec{CD} = (2-3; -3-(-2); 0-1) = (-1; -1; -1). \vec{AB} \neq \vec{CD} \text{ (нет)} \\ &2) \vec{AB} = (1-(-2); 2-3; 4-5) = (3; -1; -1); \vec{CD} = (7-4; -2-(-3); 5-6) = (3; 1; -1). \vec{AB} \neq \vec{CD} \text{ (нет)} \\ &3) \vec{AB} = (-1-0; 0-1; 1-2) = (-1; -1; -1); \vec{CD} = (2-3; -3-(-2); 1-2) = (-1; -1; -1). \vec{AB} = \vec{CD} \text{ (да)} \\ &4) \vec{AB} = (0-1; 0-1; 0-0) = (-1; -1; 0); \vec{CD} = (1-(-2); 1-2; 1-1) = (3; -1; 0). \vec{AB} \neq \vec{CD} \text{ (нет)} \end{aligned} $ **Ответ:** Параллельный перенос существует только в пункте 3. ### Задача 26 Параллельный перенос — это преобразование, при котором любая точка $(x; y; z)$ переходит в точку $(x+a; y+b; z+c)$. 1. Пусть вершины параллелограмма имеют координаты $A, B, C, D$. Вектор $\vec{AB} = \vec{DC}$. 2. При параллельном переносе точки $A, B, C, D$ переходят в $A', B', C', D'$ такие, что $\vec{AA'} = \vec{BB'} = \vec{CC'} = \vec{DD'} = \vec{p}$. 3. Вектор $\vec{A'B'} = \vec{A'A} + \vec{AB} + \vec{BB'} = -\vec{p} + \vec{AB} + \vec{p} = \vec{AB}$. 4. Так как векторы сторон сохраняются, то $\vec{A'B'} = \vec{D'C'} = \vec{AB} = \vec{DC}$ и $\vec{A'D'} = \vec{B'C'} = \vec{AD} = \vec{BC}$. 5. Следовательно, стороны и углы нового четырёхугольника равны соответствующим сторонам и углам исходного, значит, $A'B'C'D'$ — параллелограмм, равный $ABCD$. Что и требовалось доказать.