В окружность вписан равнобедренный треугольник ABC с основанием BC. Найдите углы треугольника, если ◡BC = 102°.

### Задача 703 Дано: $\triangle ABC$ — равнобедренный, $AB=AC$. Вписан в окружность, дуга $\cup BC = 102^\circ$. Найти: углы треугольника. Решение: 1. Угол $\angle A$ является вписанным углом, опирающимся на дугу $\cup BC = 102^\circ$. По теореме о вписанном угле: $\angle A = \frac{1}{2} \cdot 102^\circ = 51^\circ$. 2. Так как треугольник равнобедренный с основанием $BC$, то углы при основании равны: $\angle B = \angle C$. 3. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$: $\angle A + 2 \cdot \angle B = 180^\circ$. 4. $51^\circ + 2 \cdot \angle B = 180^\circ \Rightarrow 2 \cdot \angle B = 129^\circ \Rightarrow \angle B = 64,5^\circ$. **Ответ:** $51^\circ, 64,5^\circ, 64,5^\circ$. ### Задача 704 а) Доказательство: вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$. Поскольку прямоугольный треугольник имеет угол $90^\circ$, гипотенуза стягивает дугу $180^\circ$ и является диаметром окружности. Центр окружности (середина диаметра) совпадает с серединой гипотенузы. б) Если диаметр равен $d$, то гипотенуза $c=d$. Пусть один острый угол $\alpha$. Тогда стороны (катеты) равны: $a = d \cdot \sin \alpha$ $b = d \cdot \cos \alpha$ **Ответ:** $d \sin \alpha$ и $d \cos \alpha$. ### Задача 705 Радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы: $R = \frac{c}{2}$. а) $AC = 8$ см, $BC = 6$ см. Гипотенуза $AB = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64+36} = \sqrt{100} = 10$ см. Тогда $R = \frac{10}{2} = 5$ см. б) $AC = 18$ см, $\angle B = 30^\circ$. Гипотенуза $AB = \frac{AC}{\sin B} = \frac{18}{\sin 30^\circ} = \frac{18}{0,5} = 36$ см. Тогда $R = \frac{36}{2} = 18$ см. **Ответ:** а) $5$ см; б) $18$ см.