7. Докажите, что если в треугольнике две высоты равны, то он является равнобедренным.

### Решение задания 7 Пусть в $\triangle ABC$ проведены две высоты $AA_1$ и $CC_1$ к сторонам $BC$ и $AB$ соответственно. По условию $AA_1 = CC_1$. 1. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AA_1B$ и $\triangle CC_1B$. Они имеют общую сторону $AB$ (гипотенуза для обоих, если рассматривать треугольники как $AA_1B$ и $CC_1B$, но здесь удобнее сравнить $\triangle AA_1C$ и $\triangle CC_1A$ или другие). 2. Проще рассмотреть формулу площади: $S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AA_1$ и $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CC_1$. 3. Так как $AA_1 = CC_1$ по условию, то $\frac{1}{2} \cdot BC \cdot AA_1 = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CC_1$ означает, что $BC = AB$. 4. Следовательно, треугольник $ABC$ равнобедренный по определению (две стороны равны). ### Решение задания 8 Дано: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$ с общей стороной $AC$, $AB = BC$, $AD = DC$. Требуется доказать: $AE = EC$. 1. Рассмотрим $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$. 2. У них: - $AB = BC$ (по условию); - $AD = DC$ (по условию); - $BD$ — общая сторона. 3. Значит, $\triangle ABD = \triangle CBD$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). 4. Из равенства треугольников следует, что $\angle ABD = \angle CBD$. 5. Теперь рассмотрим $\triangle ABE$ и $\triangle CBE$: - $AB = BC$ (по условию); - $\angle ABE = \angle CBE$ (так как $BD$ — биссектриса угла $B$ в равнобедренном треугольнике $ABC$, а $E$ лежит на $BD$); - $BE$ — общая сторона. 6. Значит, $\triangle ABE = \triangle CBE$ по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними). 7. Из равенства треугольников следует, что $AE = EC$. Что и требовалось доказать.