Билет № 11 1) Расскажите о взаимном расположении двух окружностей, о касании окружностей.

### 1) Взаимное расположение двух окружностей Две окружности могут: * Не пересекаться (лежат одна вне другой или одна внутри другой). * Касаться (в одной точке — внутреннее или внешнее касание). * Пересекаться (в двух точках). **Касание:** * Внешнее: расстояние между центрами равно сумме радиусов ($d = R + r$). * Внутреннее: расстояние между центрами равно разности радиусов ($d = |R - r|$). **Общие касательные:** * При внешнем касании — 3 общие касательные (две внешние, одна внутренняя). * При пересечении — 2 внешние касательные. ### 2) Формулы площади треугольника * **Основная формула:** $S = \frac{1}{2}ah$, где $a$ — сторона, $h$ — высота. * **Через две стороны и угол:** $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$. * **Формула Герона:** $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \frac{a+b+c}{2}$ — полупериметр. **Вывод основной формулы:** Через вершину треугольника проведем прямую, параллельную основанию, а через другую вершину — прямую, параллельную боковой стороне. Получим параллелограмм. Площадь треугольника составляет половину площади параллелограмма ($S = ah$), так как треугольник равен половине площади прямоугольника с такими же сторонами. ### 3) Нахождение радиуса окружности По свойству касательной, радиус $OB$ перпендикулярен касательной $AB$ в точке касания $B$. Следовательно, треугольник $OBA$ — прямоугольный (угол $B = 90^\circ$). По теореме Пифагора: $AO^2 = AB^2 + OB^2$ $13^2 = 12^2 + OB^2$ $169 = 144 + OB^2$ $OB^2 = 25$ $OB = 5$ см. **Ответ: 5 см.** ### 4) Определение угла ВАС Пусть $\angle BAC = 2\alpha$. Так как $AD$ — биссектриса, то $\angle BAD = \angle CAD = \alpha$. Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$: 1. $AB = AC$ (по условию). 2. $AD$ — общая сторона. 3. $\angle BAD = \angle CAD = \alpha$ (так как $AD$ — биссектриса). Значит, $\triangle ABD = \triangle ACD$ (по двум сторонам и углу между ними). Следовательно, $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$ — равнобедренные (т.к. $AB=AD$ и $AC=AD$ — это неверно, здесь $AB=AC=AD$ по условию). Значит, $\triangle ABD$ равнобедренный ($AB=AD$), углы при основании $BD$ равны: $\angle ABD = \angle ADB = (180^\circ - \alpha) / 2 = 90^\circ - 0,5\alpha$. Аналогично, $\triangle ACD$ равнобедренный ($AC=AD$), углы при основании $CD$ равны: $\angle ACD = \angle ADC = 90^\circ - 0,5\alpha$. Угол $\angle BDC = \angle ADB + \angle ADC = (90^\circ - 0,5\alpha) + (90^\circ - 0,5\alpha) = 180^\circ - \alpha$. По условию $\angle BDC = 160^\circ$, тогда $180^\circ - \alpha = 160^\circ$, откуда $\alpha = 20^\circ$. Тогда $\angle BAC = 2\alpha = 40^\circ$. **Ответ: 40°.**