1. На рисунке 62 точка O — центр окружности, ∠ABC = 28°. Найдите угол AOC.

1. **Задача №1** На рисунке 62 угол $\angle ABC$ — вписанный, опирающийся на дугу $AC$. Угол $\angle AOC$ — центральный, опирающийся на ту же дугу $AC$. По теореме о вписанном угле, центральный угол в два раза больше вписанного, опирающегося на ту же дугу: $\angle AOC = 2 \cdot \angle ABC = 2 \cdot 28^\circ = 56^\circ$. **Ответ: 56°** 2. **Задача №2** Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит, $OD \perp CD$, следовательно, $\triangle ODC$ — прямоугольный с прямым углом $D$. Дано: $OD$ (радиус) = 6 см, $\angle DCO = 30^\circ$. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла $30^\circ$, равен половине гипотенузы, или наоборот, гипотенуза в два раза больше этого катета. $OC = \frac{OD}{\sin(30^\circ)} = \frac{6}{0.5} = 12$ см. **Ответ: 12 см** 3. **Задача №3** Рассмотрим треугольники $\triangle AOC$ и $\triangle AOD$: 1. $OA$ — общая сторона (радиус). 2. $OC = OD$ (радиусы одной окружности). 3. $\angle OAC = \angle OAD$ (по условию, так как $\angle BAC = \angle BAD$). Однако правильнее доказать через равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними или через свойства равных хорд: В окружности равные вписанные углы опираются на равные дуги. Так как $\angle BAC = \angle BAD$, то дуги $BC$ и $BD$ равны. Следовательно, хорды, стягивающие эти дуги ($AC$ и $AD$), равны. *Доказано*.