1) Дайте определение центрального и вписанного углов окружности. Сформулируйте свойство вписанного угла.

Привет! Давай разберем твой билет по геометрии. ### 1) Центральный и вписанный углы * **Центральный угол** — это угол, вершина которого лежит в центре окружности, а стороны пересекают окружность. * **Вписанный угол** — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность. * **Свойство вписанного угла:** Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Также все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. ### 2) Формулы площадей * **Параллелограмм:** $S = a \cdot h_a$ (где $a$ — сторона, $h_a$ — высота к ней) или $S = a \cdot b \cdot \sin \alpha$ (где $a, b$ — стороны, $\alpha$ — угол между ними). * **Ромб:** $S = a \cdot h$ (как у параллелограмма) или $S = \frac{1}{2} d_1 \cdot d_2$ (где $d_1, d_2$ — диагонали). * **Трапеция:** $S = \frac{a + b}{2} \cdot h$ (где $a, b$ — основания, $h$ — высота). *Вывод формулы параллелограмма:* Проведем высоту $h$ к основанию $a$. Параллелограмм можно разрезать на прямоугольный треугольник и прямоугольную трапецию. Переложив треугольник к другой стороне, получим прямоугольник со сторонами $a$ и $h$. Площадь прямоугольника $a \cdot h$, значит, и площадь параллелограмма $S = a \cdot h$. ### 3) Углы параллелограмма Диагональ делит параллелограмм на два треугольника. Пусть углы при вершинах, которые образует диагональ со сторонами, равны $35^\circ$ и $42^\circ$. Тогда весь угол параллелограмма при этой вершине равен $35^\circ + 42^\circ = 77^\circ$. Так как сумма соседних углов параллелограмма равна $180^\circ$, второй (больший) угол равен $180^\circ - 77^\circ = 103^\circ$. **Ответ: 103^\circ.** ### 4) Площадь трапеции Основания $a = 8$, $b = 18$. Периметр $P = 56$. Так как трапеция равнобедренная, боковые стороны $c$ равны. $P = a + b + 2c = 56$. $8 + 18 + 2c = 56 \implies 26 + 2c = 56 \implies 2c = 30 \implies c = 15$. Опустим высоты на большее основание. Отрезок на большем основании между высотами равен меньшему основанию ($8$). Оставшиеся части по краям равны $(18 - 8) / 2 = 5$. Высоту $h$ найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника с гипотенузой $c = 15$ и катетом $5$: $h^2 = 15^2 - 5^2 = 225 - 25 = 200$. $h = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$. Площадь $S = \frac{8 + 18}{2} \cdot 10\sqrt{2} = 13 \cdot 10\sqrt{2} = 130\sqrt{2} \approx 183.85$. **Ответ: 130\sqrt{2}.**