Треугольник ABC вписан в окружность с центром O. Точки O и C лежат в одной полуплоскости относительно прямой AB. Найдите угол ACB, если угол AOB равен 110°. Ответ дайте в градусах.

Давай разберем задачи по очереди. Так как текст немного размыт, я опираюсь на типичные геометрические формулы для таких заданий. ### Задача 1 Треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром $O$. Точки $O$ и $C$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AB$. Найдите угол $ACB$, если угол $AOB$ равен $110^\circ$. Ответ дайте в градусах. *Решение:* Угол $ACB$ — вписанный, а угол $AOB$ — центральный, опирающиеся на одну и ту же дугу $AB$. Центральный угол в два раза больше вписанного, опирающегося на ту же дугу. Однако, если центр лежит внутри или снаружи, есть нюанс. Так как $O$ и $C$ в одной полуплоскости, то угол $ACB = \frac{1}{2} \angle AOB = 55^\circ$. **Ответ: 55** ### Задача 2 К окружности с центром $O$ проведены касательные $AB$ и $AC$ (точка $A$ — точка пересечения касательных). Найдите радиус окружности, если $AB = 12$, $AO = 13$. *Решение:* Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Пусть $B$ — точка касания. Тогда $\triangle ABO$ — прямоугольный, где $OB$ — радиус, $AB=12$, $AO=13$ (гипотенуза). По теореме Пифагора: $OB^2 = AO^2 - AB^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$. $OB = \sqrt{25} = 5$. **Ответ: 5** ### Задача 3 На окружности с центром $O$ отмечены точки $A$ и $B$ так, что $\angle AOB = 140^\circ$. Длина меньшей дуги $AB$ равна 98. Найдите длину большей дуги. *Решение:* Полная окружность составляет $360^\circ$. Большая дуга соответствует углу $360^\circ - 140^\circ = 220^\circ$. Длины дуг пропорциональны их градусным мерам. $L_{small} / L_{large} = 140 / 220 = 14 / 22 = 7 / 11$. $L_{large} = L_{small} \cdot (220 / 140) = 98 \cdot (22 / 14) = 98 / 14 \cdot 22 = 7 \cdot 22 = 154$. **Ответ: 154** ### Задача 4 Треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром $O$. Точки $O$ и $C$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AB$. Найдите угол $ACB$, если $\angle AOB = 85^\circ$. Ответ дайте в градусах. *Решение:* Аналогично первой задаче, так как $O$ и $C$ лежат в одной полуплоскости, то угол $ACB = \frac{1}{2} \angle AOB = 42,5^\circ$. **Ответ: 42,5** ### Задача 5 В углу $C$ величиной $55^\circ$ вписана окружность, которая касается сторон угла в точках $A$ и $B$. Точка $O$ — центр окружности. Найдите угол $AOB$. Ответ дайте в градусах. *Решение:* В четырехугольнике $OACB$ углы при точках касания $A$ и $B$ равны $90^\circ$ (радиус перпендикулярен касательной). Сумма углов четырехугольника $360^\circ$. Угол $AOB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 55^\circ = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ$. **Ответ: 125** ### Задача 6 Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Радиус окружности равен 10. Найдите $BC$, если $AC = 16$. *Решение:* Если центр описанной окружности лежит на стороне $AB$, значит $AB$ — диаметр. Тогда $\triangle ABC$ — прямоугольный (угол $C = 90^\circ$). Гипотенуза $AB = 2 \cdot R = 2 \cdot 10 = 20$. По теореме Пифагора: $BC^2 = AB^2 - AC^2 = 20^2 - 16^2 = 400 - 256 = 144$. $BC = 12$. **Ответ: 12**