Составьте уравнение прямой, проходящей через точки A(2, 3) и B(4, -2).

1. Уравнение прямой проходит через точки A(2, 3) и B(4, -2). Общий вид $y=kx+b$. Подставим координаты: $\begin{cases} 3=2k+b \\ -2=4k+b \end{cases}$. Вычитая уравнения, получим $5=-2k \Rightarrow k=-2.5$. Тогда $3=2(-2.5)+b \Rightarrow 3=-5+b \Rightarrow b=8$. Ответ: $y=-2.5x+8$. 2. Приравняем правые части: $5-7x=2x-1 \Rightarrow 6=9x \Rightarrow x=2/3$. Тогда $y=2(2/3)-1 = 4/3-3/3 = 1/3$. Ответ: $(2/3; 1/3)$. 3. Приравняем: $3x-1=-2x-5 \Rightarrow 5x=-4 \Rightarrow x=-0.8$. Тогда $y=3(-0.8)-1=-3.4$. Ответ: $(-0.8; -3.4)$. 4. Приравняем: $-3x=2x+3 \Rightarrow -5x=3 \Rightarrow x=-0.6$. Тогда $y=-3(-0.6)=1.8$. Для построения отметьте точку пересечения $(-0.6; 1.8)$ и проведите прямые через $(0;0)$ и $(1;-3)$ для первой, $(0;3)$ и $(1;5)$ для второй. 5. Условие параллельности: коэффициенты при $x$ равны. $3k-1=3 \Rightarrow 3k=4 \Rightarrow k=4/3$. 6. $3k=0.5k+3 \Rightarrow 2.5k=3 \Rightarrow k=3/2.5=1.2$. 7. Параллельна $y=3x+7$, значит $k=3$. Проходит через $(-4; 3)$: $3=3(-4)+b \Rightarrow 3=-12+b \Rightarrow b=15$. Ответ: $y=3x+15$. 8. Уравнение прямой через $A(0;0)$ и $B(2;4)$: $y=2x$. Точка $C(3; 5p+8)$ лежит на ней, значит $5p+8=2(3) \Rightarrow 5p+8=6 \Rightarrow 5p=-2 \Rightarrow p=-0.4$. 9. Уравнение $(a-1)(a-2)x=(a-1)(a-3)$: a) Бесконечно много корней ($0x=0$): $a-1=0 \Rightarrow a=1$. б) Нет корней ($0x=B, B\neq 0$): $a=2$ (так как $(2-1)(2-2)x=0$, а $(2-1)(2-3)=-1$). в) Один корень: $a \neq 1$ и $a \neq 2$. 10. Подставим $A(0;4)$ в уравнение $y=ax+3a-8$: $4=a(0)+3a-8 \Rightarrow 12=3a \Rightarrow a=4$. 11. Система не имеет решений, если прямые параллельны, но не совпадают: $3/a=4/4 \neq 2/5$. $3/a=1 \Rightarrow a=3$. Проверка: $1 \neq 0.4$ (верно). Ответ: $a=3$. 12. Система: $\begin{cases} x^2=a \\ y=(7-2x)/3 \end{cases}$. Если $a<0$, решений нет. Если $a=0$, $x=0$, $y=7/3$ (одно решение). Если $a>0$, $x=\pm \sqrt{a}$ (два решения). Ответ: $a=0$. 13. Условие бесконечности решений: пропорциональность коэффициентов $1/2 = 2/(a^2+a+4) = 7/(a+8)$. Из $1/2 = 2/(a^2+a+4)$ получаем $a^2+a=0 \Rightarrow a=0$ или $a=-1$. Проверка для $7/(a+8)$: если $a=0$, $7/8 \neq 0.5$. Если $a=-1$, $7/7=1 \neq 0.5$. Ответ: таких значений $a$ нет.