Итоговая контрольная работа по математике за 8 класс (база)

### Вариант 1 **1. Уравнения:** а) $x^2 - 8x + 12 = 0$ $D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16 = 4^2$ $x_{1,2} = \frac{8 \pm 4}{2} \Rightarrow x_1 = 6, x_2 = 2$. б) $9x^2 = 54x \Rightarrow 9x^2 - 54x = 0 \Rightarrow 9x(x-6) = 0$ $x_1 = 0, x_2 = 6$. **2. Неравенства:** а) $5x + 4 < x + 6 \Rightarrow 4x < 2 \Rightarrow x < 0.5$. б) $9x^2 - 6x + 1 \ge 0 \Rightarrow (3x - 1)^2 \ge 0$. Верно при любых $x$, так как квадрат любого числа неотрицателен. Ответ: $x \in \mathbb{R}$. **3. График функции $y = x^2 - 4x + 5$:** Это парабола, ветви вверх. Вершина: $x_v = -\frac{-4}{2} = 2, y_v = 2^2 - 4(2) + 5 = 1$. Точка $(2, 1)$. Промежутки: убывает на $(-\infty, 2]$, возрастает на $[2, +\infty)$. **4. Задача:** Пусть скорость второго $v$, тогда первого $v+9$. Расстояние 990 км. $\frac{990}{v} - \frac{990}{v+9} = 1$ $990(v+9) - 990v = v(v+9)$ $990v + 8910 - 990v = v^2 + 9v$ $v^2 + 9v - 8910 = 0$ $D = 81 - 4(1)(-8910) = 81 + 35640 = 35721 = 189^2$ $v = \frac{-9 + 189}{2} = 90$ км/ч (второй). Скорость первого $90 + 9 = 99$ км/ч. **5. Выражения:** 1) $(4\sqrt{3} + \sqrt{27})\sqrt{3} = (4\sqrt{3} + 3\sqrt{3})\sqrt{3} = 7\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 7 \cdot 3 = 21$. 2) $2y^2 + 5xy - 3x^2$ при $y=\sqrt{6}, x=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$. $2(\sqrt{6})^2 + 5(\sqrt{6})(2\sqrt{6}) - 3(2\sqrt{6})^2 = 2(6) + 10(6) - 3(4 \cdot 6) = 12 + 60 - 72 = 0$. --- ### Вариант 2 **1. Уравнения:** а) $x^2 - 10x + 21 = 0 \Rightarrow (x-3)(x-7)=0 \Rightarrow x_1=3, x_2=7$. б) $3x^2 = 27x \Rightarrow 3x(x-9)=0 \Rightarrow x_1=0, x_2=9$. **2. Неравенства:** а) $6 - 7x \le 3x - 7 \Rightarrow -10x \le -13 \Rightarrow x \ge 1.3$. б) $x^2 + 7x + 12 > 0 \Rightarrow (x+3)(x+4) > 0$. Корни -3, -4. Интервалы: $(-\infty, -4) \cup (-3, +\infty)$. **3. График функции $y = -x^2 - 4x - 3$:** Парабола, ветви вниз. Вершина: $x_v = -\frac{-4}{2(-1)} = -2, y_v = -(-2)^2 - 4(-2) - 3 = -4 + 8 - 3 = 1$. Точка $(-2, 1)$. Промежутки: возрастает на $(-\infty, -2]$, убывает на $[-2, +\infty)$. **4. Задача:** Пусть $v$ - скорость второго, тогда первого $v+20$. Расстояние 240 км. $\frac{240}{v} - \frac{240}{v+20} = 1$ $240(v+20) - 240v = v(v+20)$ $v^2 + 20v - 4800 = 0$ $D = 400 - 4(-4800) = 400 + 19200 = 19600 = 140^2$ $v = \frac{-20 + 140}{2} = 60$. Скорость первого $60+20=80$ км/ч. **5. Выражения:** 1) $(5\sqrt{2} - \sqrt{18})\sqrt{2} = (5\sqrt{2} - 3\sqrt{2})\sqrt{2} = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot 2 = 4$. 2) $2a^2 - 3ab + 2b^2$ при $a=\sqrt{8}=2\sqrt{2}, b=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$. $2(2\sqrt{2})^2 - 3(2\sqrt{2})(4\sqrt{2}) + 2(4\sqrt{2})^2 = 2(8) - 3(8 \cdot 2) + 2(16 \cdot 2) = 16 - 48 + 64 = 32$.