А6. Прямые KL, MN и PQ пересекаются в точке A, ∠KAM = 90°, ∠KAP : ∠MAQ = 4 : 5. Один из образованных углов равен 80°, два другие относятся как 2 : 3. Найдите наименьший из углов: PAN, LAN и LAQ.

### Решение задач: **А6.** Прямые $KL$, $MN$, $PQ$ пересекаются в $A$. $\angle KAM = 90^\circ$. $\angle KAP : \angle MAQ = 4:5$. Обозначим $\angle KAP = 4x$, $\angle MAQ = 5x$. Так как $\angle KAM = 90^\circ$ и $M, A, L$ — прямая, то углы $\angle KAM + \angle KAL = 180^\circ \Rightarrow \angle KAL = 90^\circ$. Углы $\angle KAP$ и $\angle MAQ$ — вертикальные, значит они равны? Нет, $\angle KAP$ и $\angle LAQ$ — вертикальные. Углы $\angle KAM$ и $\angle LAQ$ — вертикальные ($90^\circ$). Углы $\angle KAP$ и $\angle LAQ$ вертикальные? Нет, по чертежу вертикальные углы: $\angle KAM$ и $\angle LAQ$, $\angle KAP$ и $\angle LAQ$... Стоп, на чертеже: $K, A, L$ и $M, A, N$ и $P, A, Q$ — прямые. Углы $\angle KAP$ и $\angle MAQ$ — вертикальные, значит $4x=5x$ — невозможно. Вероятно, опечатка в условии. Решим исходя из того, что $\angle KAP$ и $\angle MAQ$ — смежные с вертикальными. Пусть $\angle KAP = 4x$, $\angle MAQ = 5x$. В сумме с $\angle KAM (90^\circ)$ они составляют развернутый угол или их сумма $180^\circ$. $\angle KAM = 90^\circ$. Остальные углы вокруг точки $A$: $\angle KAP + \angle PA L + \angle LAQ + \angle QAM + \angle MAK = 360^\circ$. В задаче сказано: "один из образованных углов $80^\circ$, два другие относятся как $2:3$". Сумма всех углов $360^\circ$. Вертикальные углы равны. Пусть углы $\alpha, \beta, \gamma$ — три угла одной полуплоскости. $\alpha = 90^\circ$. $\beta + \gamma = 90^\circ$. $\beta : \gamma = 2:3 \Rightarrow 2x + 3x = 90^\circ \Rightarrow 5x=90^\circ \Rightarrow x=18^\circ$. $\beta = 36^\circ, \gamma = 54^\circ$. Но есть условие $80^\circ$. Значит, $80^\circ$ — один из углов. Скорее всего, ответ **2) 60** (или иное, задача некорректна). **А7.** В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов $180^\circ$. Если угол $125^\circ$ — при вершине (он тупой, при основании два тупых быть не могут), то $180-125=55^\circ$ (сумма углов при основании). **Ответ: 55^\circ**. **В1.** Пусть $\angle P = x$. Тогда $\angle K = x / 0.6 = \frac{5}{3}x$. $\angle M = x + 4^\circ$. Сумма углов: $x + \frac{5}{3}x + x + 4 = 180^\circ \Rightarrow 3.66x = 176 \Rightarrow x \approx 48^\circ$. **В2.** $\angle B : \angle C = 5:3 \Rightarrow \angle B=5x, \angle C=3x$. $\angle A = 80^\circ + (5x - 3x) = 80 + 2x$. Сумма: $5x + 3x + 80 + 2x = 180 \Rightarrow 10x = 100 \Rightarrow x=10^\circ$. $\angle B=50^\circ, \angle C=30^\circ, \angle A=100^\circ$. Высота $AD$ из $A$ делит $\angle A$ на части. $\angle BAD = 90 - \angle B = 40^\circ$. $\angle CAD = 90 - \angle C = 60^\circ$. **Ответ: 40^\circ и 60^\circ**. **В3.** Пусть углы при основании $\alpha$. Тогда угол при вершине $\beta = 180 - 2\alpha$. Высоты к боковым сторонам пересекаются под углом, равным углу при вершине $\beta$. $180 - 140 = 40^\circ$. **Ответ: 40^\circ**. **С1.** Пусть угол при основании $\alpha$, при вершине $\beta$. Биссектриса делит $\alpha$ пополам. В треугольнике, образованном биссектрисой, боковой стороной и основанием, углы $\alpha/2, \alpha$ и $180 - 1.5\alpha$. По теореме синусов или подобию, равенство биссектрисы основанию приводит к уравнению $\cos(\alpha) = 2\sin(\alpha/2) \dots$ Решение $\alpha = 72^\circ$. Тогда $\beta = 180 - 2(72) = 36^\circ$. **Ответ: 36^\circ**. **С2.** Равнобедренный треугольник можно разделить тремя отрезками на **6** равнобедренных треугольников (один отрезок — медиана, два других — биссектрисы).