Решите уравнение: 1) 1 + 5 cos x + 2 sin^2 x = 0; 2) 4 sin x = cos^2 x sin x.

Решим предложенные тригонометрические уравнения: 1) $1 + 5 \cos x + 2 \sin^2 x = 0$ Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$: $1 + 5 \cos x + 2(1 - \cos^2 x) = 0$ $1 + 5 \cos x + 2 - 2 \cos^2 x = 0$ $-2 \cos^2 x + 5 \cos x + 3 = 0$ Умножим на $-1$: $2 \cos^2 x - 5 \cos x - 3 = 0$ Пусть $t = \cos x$, где $|t| \le 1$: $2t^2 - 5t - 3 = 0$ Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$ $t_{1,2} = \frac{5 \pm 7}{4}$ $t_1 = \frac{12}{4} = 3$ (не подходит, так как $3 > 1$) $t_2 = \frac{-2}{4} = -0,5$ $\cos x = -0,5$ $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ 2) $4 \sin x = \cos^2 x \sin x$ Перенесем всё в левую часть: $4 \sin x - \cos^2 x \sin x = 0$ $\sin x (4 - \cos^2 x) = 0$ Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: а) $\sin x = 0 \implies x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$ б) $4 - \cos^2 x = 0 \implies \cos^2 x = 4$ Так как $|\cos x| \le 1$, то $\cos^2 x \le 1$, значит уравнение $\cos^2 x = 4$ корней не имеет. Ответ: 1) $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ 2) $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$