На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA = 25°. Найдите угол NMB.

### Решение задачи №3 1. Нам дана окружность с диаметром $AB$. Угол $\angle AMB$ — это вписанный угол, опирающийся на диаметр, поэтому он равен $90^\circ$. 2. Углы $\angle NBA$ и $\angle NMA$ являются вписанными и опираются на одну и ту же дугу $AN$. Следовательно, они равны: $\angle NMA = \angle NBA = 25^\circ$. 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AMB$. Сумма его острых углов равна $90^\circ$: $\angle MAB + \angle MBA = 90^\circ$. 4. Однако нам нужно найти $\angle NMB$. Заметим, что $\angle NMB = \angle NMA + \angle AMB$ не подходит, так как точки по разные стороны. Посмотрим на чертеж: $\angle NMB = \angle AMB - \angle AMN$ (но это не так). 5. Давайте проще: $\angle NMB = \angle NMA + \angle AMB$ неверно, угол $\angle NMB$ состоит из углов, опирающихся на дуги. Верный подход: Угол $\angle NMB$ опирается на дугу $NB$. Вписанный угол $\angle NAB$ опирается на ту же дугу. Значит, $\angle NMB = \angle NAB$. В прямоугольном треугольнике $\triangle ANB$ (так как он опирается на диаметр $AB$): $\angle NAB = 90^\circ - \angle NBA = 90^\circ - 25^\circ = 65^\circ$. **Ответ: 65** ### Решение задачи №4 1. Треугольник $\triangle AOB$ равнобедренный, так как $AO = OB$ (радиусы). Значит, $\angle OBA = \angle OAB = 23^\circ$. 2. Зная $\angle ABC = 66^\circ$ и $\angle OBA = 23^\circ$, мы можем найти $\angle OBC$: $\angle OBC = \angle ABC - \angle OBA = 66^\circ - 23^\circ = 43^\circ$. 3. Треугольник $\triangle OBC$ тоже равнобедренный ($OB = OC$ — радиусы), значит углы при основании равны: $\angle OCB = \angle OBC = 43^\circ$. 4. В треугольнике $\triangle OBC$ сумма углов $180^\circ$: $\angle BOC = 180^\circ - (43^\circ + 43^\circ) = 180^\circ - 86^\circ = 94^\circ$. Нам нужно найти $\angle BCO$, мы его уже нашли в пункте 3. **Ответ: 43**