O — точка пересечения медиан треугольника ABC. S_{ riangle ABD} = 24. Найдите S_{ riangle DOC}.

Дано, что $O$ — точка пересечения медиан треугольника $ABC$ (центроид). Значит, $BD$ — медиана, проведенная к стороне $AC$, так как $AD = DC$ (отмечено на чертеже). 1. Свойство медианы: медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника. Значит, $S_{ riangle ABD} = S_{ riangle BDC} = 24$. 2. Свойство центроида: медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников. Площадь каждого из них равна $1/6$ площади всего треугольника $ABC$. $S_{ riangle ABC} = S_{ riangle ABD} + S_{ riangle BDC} = 24 + 24 = 48$. Площадь одного малого треугольника (например, $\triangle ADO$ или $\triangle DOC$) равна $48 / 6 = 8$. Также можно рассмотреть $\triangle BDC$. Медиана $CO$ делит его на два треугольника с равными основаниями ($OD$ и $OB$ не равны, но $DO$ и $OB$ — части медианы, и медиана треугольника делит его на два равновеликих, если рассматривать треугольники с вершиной $C$, но здесь проще через отношение площадей $\triangle DOC$ и $\triangle BDC$ с общей высотой из $C$ к $BD$, или просто использовать свойство, что $S_{ riangle DOC} = 1/3 \cdot S_{ riangle BDC}$). Так как $BO:OD = 2:1$, то $S_{ riangle DOC} = 1/3 \cdot S_{ riangle BDC} = 1/3 \cdot 24 = 8$. **Ответ: 8**